[论文解读] Convex Shape Priors for Level Set Representation

Shousheng Luo, Xue‐Cheng Tai|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Medical Image Segmentation Techniques参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文通过推导凸性的必要且充分条件——符号距离函数（SDF）的拉普拉斯算子必须非负，提出了一种基于水平集的图像分割凸形状先验。该方法利用分裂算法将此凸性约束整合到变分模型中，当与基于特征点的先验结合时，在低对比度、遮挡及非均匀强度图像上显著提升了分割精度。

ABSTRACT

For many applications, we need to use techniques to represent convex shapes and objects. In this work, we use level set method to represent shapes and find a necessary and sufficient condition on the level set function to guarantee the convexity of the represented shapes. We take image segmentation as an example to apply our technique. Numerical algorithm is developed to solve the variational model. In order to improve the performance of segmentation for complex images, we also incorporate landmarks into the model. One option is to specify points that the object boundary must contain. Another option is to specify points that the foreground (the object) and the background must contain. Numerical experiments on different images validate the efficiency of the proposed models and algorithms. We want to emphasize that the proposed technique could be used for general shape optimization with convex shape prior. For other applications, the numerical algorithms need to be extended and modified.

研究动机与目标

• 为图像分割中基于水平集表示的形状提供一个数学上严谨的凸形状先验。
• 通过引入形状先验，解决在低对比度、遮挡或非均匀强度图像中基于强度的分割方法的局限性。
• 通过水平集函数上的必要且充分条件，确保分割对象的凸性。
• 通过将特征点约束（对象或背景点）整合到凸性约束模型中，提升分割精度。
• 设计一种高效的数值算法，利用算子分裂技术求解约束变分模型。

提出的方法

• 通过几何分析推导出形状凸性与符号距离函数（SDF）拉普拉斯算子非负之间的等价性。
• 通过条件 Δφ ≥ 0 强制实施凸性约束，其中 φ 为水平集函数（SDF），确保所有次水平集均为凸集。
• 开发一种变分模型，结合基于高斯混合模型（GMM）的区域力、凸性约束与特征点约束。
• 提出两种基于特征点的公式：一种要求边界通过指定点，另一种要求前景/背景点被包围。
• 采用增广拉格朗日法结合交替方向乘子法（ADMM）求解所得的约束优化问题，以提高计算效率。
• 引入基于子区域的凸性约束，以降低计算成本，同时保持精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 为保证所表示形状的凸性，水平集函数需满足何种必要且充分条件？
• RQ2 如何在不依赖训练数据的前提下，在基于水平集的图像分割框架中有效强制实现凸性？
• RQ3 当凸性先验与特征点约束结合时，是否能提升在复杂图像条件下（如低对比度或遮挡）的分割性能？
• RQ4 与现有方法相比，该方法在低对比度或遮挡图像上的收敛性与精度表现如何？
• RQ5 在使用基于特征点的凸性约束时，初始曲线的位置对收敛性有何影响？

主要发现

• 本文证明：当且仅当其符号距离函数的拉普拉斯算子非负时，形状才是凸的，为凸形状先验提供了严格的数学基础。
• 数值实验表明，所提出的GMMLC（GMM结合特征点与凸性）模型在复杂图像上实现了精确分割，包括低对比度与非均匀强度情况。
• 该方法成功分割了如五角大楼、彩色石块和阴阳图等物体，其强度对比极低，优于无凸性约束的模型。
• 特征点的引入显著提升了收敛性与精度，尤其当初始曲线包围特征点时效果更佳，而非特征点位于曲线内部时。
• 在严重遮挡与低对比度条件下，RPC（含凸性与特征点）模型仍能产生正确分割结果，而RP（无凸性）模型尽管使用相同的特征点输入却失败。
• 当初始曲线选择使得特征点位于其外部时，该算法表现出极高的收敛速度，原因在于凸性与特征点约束被一致强制执行。