[论文解读] Convex Solutions of systems of Monge-Ampère equations

Haiyan Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文通过在锥上使用不动点定理，建立了单位球内Monge-Ampère方程组非平凡径向凸解的存在性、多重性及非存在性。关键贡献在于通过非线性项在零点和无穷远处的渐近极限来刻画解的行为，表明源项的超线性或次线性增长可保证在λ的适当参数范围内存在解。

ABSTRACT

The existence and multiplicity and nonexistence of nontrivial radial convex solutions of systems of Monge-Ampère equations are established with superlinearity or sublinearity assumptions for an appropriately chosen parameter. The proof of the results is based on a fixed point theorem in a cone.

研究动机与目标

• 建立单位球内Monge-Ampère方程组非平凡径向凸解的存在性、多重性及非存在性。
• 分析非线性项f^i在零点和无穷远处的渐近行为如何影响解的存在性。
• 确定λ的参数范围，使得解存在、唯一或多重。
• 通过锥上的不动点理论，将标量Monge-Ampère结果推广至系统情形。
• 利用Monge-Ampère方程的径向结构，对算子给出精确估计。

提出的方法

• 通过径向对称性和恒等式det(D²u_i) = (1/(N r^{N-1})) ((u_i')^N)'，将原始的Monge-Ampère系统转化为等价的常微分方程组系统。
• 对所得的常微分方程组系统应用锥上的不动点定理，证明凸解的存在性。
• 使用函数φ(t) = t^N及其反函数φ⁻¹(t) = t^{1/N}来归一化非线性项的增长率。
• 分别定义f₀^i和f_∞^i为当‖𝐮‖ → 0和‖‖ → ∞时f^i(𝐮)/φ(‖𝐮‖)的极限，以分类超线性/次线性行为。
• 引入和式𝔽₀ = ∑f₀^i和𝔽_∞ = ∑f_∞^i，以刻画系统整体的渐近增长行为。
• 通过积分估计和锥的性质，采用反证法，在不同参数区域内对解的范数进行有界控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非线性项f^i满足何种条件时，Monge-Ampère方程组 admits 非平凡径向凸解？
• RQ2 参数λ如何影响凸径向解的存在性与多重性？
• RQ3 渐近极限f₀^i和f_∞^i在决定解行为方面起什么作用？
• RQ4 在特定增长条件下，能否保证存在两个不同的凸解？
• RQ5 非线性项在零点和无穷远处的超线性或次线性行为如何影响解存在的临界阈值λ₀？

主要发现

• 若𝔽₀ = 0且𝔽_∞ = ∞，则对所有λ > 0，系统存在非平凡凸解。
• 若𝔽₀ = ∞且𝔽_∞ = 0，则对所有λ > 0，系统存在非平凡凸解。
• 若𝔽₀ = 0或𝔽_∞ = 0，则存在λ₀ > 0，使得对所有λ > λ₀，系统存在严格凸解。
• 若𝔽₀ = ∞或𝔽_∞ = ∞，则存在λ₀ > 0，使得对所有0 < λ < λ₀，系统存在严格凸解。
• 若𝔽₀ = 𝔽_∞ = 0，则存在λ₀ > 0，使得对所有λ > λ₀，系统存在两个严格凸解。
• 若𝔽₀ = 𝔽_∞ = ∞，则存在λ₀ > 0，使得对所有0 < λ < λ₀，系统存在两个严格凸解。