[论文解读] Convolutional codes from units in matrix and group rings

Ted Hurley|ArXiv.org|Nov 22, 2007

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用 19

一句话总结

本文提出了一种新颖的代数方法，通过在矩阵环和群环上的洛朗级数中的单位来构造卷积码，特别利用群环作为矩阵环来生成具有预定自由距离的码。主要贡献是一个代数框架，可系统化地构造卷积码（如二元 (2,1) 码、汉明型码和高码率码），并能显式计算其自由距离，克服了以往依赖计算机搜索方法的局限性。

ABSTRACT

A general method for constructing convolutional codes from units in Laurent series over matrix rings is presented. Using group ring as matrix rings, this forms a basis for in-depth exploration of convolutional codes from group ring encoding, wherein the ring in the group ring is itself a group ring. The method is used to algebraically construct series of convolutional codes. Algebraic methods are used to compute free distances and to construct convolutional codes to prescribed distances.

研究动机与目标

• 为解决缺乏系统化代数方法来构造卷积码的问题，特别是超越通过计算机搜索获得的短记忆码。
• 通过将群环嵌入矩阵环中，扩展基于单位的卷积码构造，以实现递归编码结构。
• 提供一个统一的框架，利用群环中单位、零因子和幂等元的代数性质，生成具有保证最小自由距离的卷积码。
• 通过允许群环的基环本身也是群环，推广现有构造方法，实现分层码的生成。
• 通过代数手段实现高码率和汉明型卷积码的设计，使其自由距离可预测且可控。

提出的方法

• 从矩阵环上洛朗级数中的单位构造卷积码，特别使用 $ R[z,z^{-1}] $，其中 $ R $ 是由群环 $ FG $ 衍生出的矩阵环。
• 利用同构 $ R[z,z^{-1}] \cong RC_{\infty} $，通过正则表示将群环嵌入矩阵环，以生成编码矩阵。
• 利用 $ (FC_2)C_\infty $ 中的单位构造二元 $ (2,1) $ 卷积码，并代数计算其自由距离。
• 应用在 $ RC_\infty $ 中模仿线性循环码生成多项式的原理，构造自由距离为 $ d+2 $ 的 $ (2,1) $ 卷积码，其中 $ d $ 是循环码及其对偶码的最小距离。
• 利用群环 $ FG $ 中的幂等元（当 $ |G| $ 可被特征 $ p $ 整除时）在特征 $ p $ 的域上构造码。
• 在域的特征不整除群阶时，利用群环中的幂等元和特征，生成具有所需距离特性的系统化卷积码。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用群环中的单位等代数结构系统化地构造卷积码，而非依赖计算机搜索？
• RQ2 如何利用群环及其矩阵表示的性质，代数计算卷积码的自由距离？
• RQ3 该构造方法能否从已知的循环码生成具有预定最小自由距离（如 $ d+2 $）的码？
• RQ4 幂等元、特征和幂零元在构造任意素特征域上的卷积码中起什么作用？
• RQ5 能否代数化地构造具有保证自由距离的汉明型卷积码？其与经典汉明码相比如何？

主要发现

• 利用群环 $ (\mathbb{F}_2 C_2)C_\infty $ 构造了一系列二元 $ (2,1) $ 卷积码，并代数计算了其自由距离。
• 对于任意线性循环码 $ \mathcal{C} $，其最小距离为 $ d_1 $，对偶码最小距离为 $ d_2 $，构造出一个自由距离至少为 $ d+2 $ 的 $ (2,1) $ 卷积码，其中 $ d = \min(d_1, d_2) $。
• 通过在 $ \mathbb{Z}_2 C_{16} $ 中利用 $ u^8 = 1 $，显式构造出一个 $ (8,4,9) $ 二元卷积码，记忆深度 $ \delta = 6 $，利用秩为4的矩阵贡献距离。
• 推测使用 $ \mathbb{Z}_2 C_{16} $ 可能构造出 $ (16,12,9) $ 卷积码，但未完成全部计算细节。
• 利用 $ \mathbb{Z}_2(C_4 \times C_2) $ 构造出一个汉明型 $ (8,4) $ 卷积码，自由距离为10，生成矩阵为 $ G(z) = (I,B) + (I,A)z + (I,B)z^2 $。
• 定理14.1证明，在 $ RC_\infty $ 中模仿循环码的生成多项式，可得到自由距离至少为 $ d+8 $ 的卷积码，其中 $ d $ 是循环码及其对偶码的最小距离。