[论文解读] Convolutional Polar Codes

Andrew J. Ferris, Christoph Hirche+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Error Correcting Code Techniques参考文献 34被引用 18

一句话总结

本文提出卷积极化码（Convolutional Polar Codes），这是一种新型纠错码家族，通过将Arikan极化码中的分块结构核替换为源自分叉MERA张量网络的卷积结构，从而对Arikan极化码进行推广。所提出的码在连续取消解码下实现了可证明的更优渐近误码指数 $\beta' < \frac{\log_2 3}{2} \approx 0.792$，优于标准极化码，同时保持较低的解码复杂度，并在仿真中展现出更优的有限块长性能。

ABSTRACT

Arikan's Polar codes attracted much attention as the first efficiently decodable and capacity achieving codes. Furthermore, Polar codes exhibit an exponentially decreasing block error probability with an asymptotic error exponent upper bounded by 1/2. Since their discovery, many attempts have been made to improve the error exponent and the finite block-length performance, while keeping the bloc-structured kernel. Recently, two of us introduced a new family of efficiently decodable error-correction codes based on a recently discovered efficiently-contractible tensor network family in quantum many-body physics, called branching MERA. These codes, called branching MERA codes, include Polar codes and also extend them in a non-trivial way by substituting the bloc-structured kernel by a convolutional structure. Here, we perform an in-depth study of a particular example that can be thought of as a direct extension to Arikan's Polar code, which we therefore name Convolutional Polar codes. We prove that these codes polarize and exponentially suppress the channel's error probability, with an asymptotic error exponent log_2(3)/2 which is provably better than for Polar codes under successive cancellation decoding. We also perform finite block-size numerical simulations which display improved error-correcting capability with only a minor impact on decoding complexity.

研究动机与目标

• 开发Arikan极化码的推广形式，以提升渐近误码指数，同时保持高效解码。
• 探究极化过程中采用卷积结构是否能带来优于分块结构核的有限块长性能。
• 证明新码族——卷积极化码——在连续取消解码下可实现比标准极化码更优的渐近误码指数。
• 展示性能提升仅带来解码复杂度的微小增加。

提出的方法

• 作者利用分叉MERA张量网络结构构建卷积极化码，将标准极化码网络中的平凡单位张量替换为非平凡的卷积张量。
• 编码电路源自一种分层、多尺度的张量网络，可实现高效的张量收缩，类似于快速傅里叶变换。
• 应用连续取消解码，利用张量网络结构实现对数线性时间复杂度，与极化码类似。
• 通过迭代张量收缩分析极化行为，建模不同尺度下比特信道误码概率的演化。
• 从张量网络的收缩动力学中推导出渐近误码指数，证明 $\beta' < \frac{1}{2}\log_2 3$。
• 通过张量网络收缩的数值仿真评估有限长性能，将误码率与标准极化码进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 极化过程中采用卷积结构是否能带来高于分块结构核的渐近误码指数？
• RQ2 所提出的码族在提升纠错性能的同时是否保持了高效的解码复杂度？
• RQ3 有限块长性能的提升是否源于误码率曲线中更陡峭的误码平台区？
• RQ4 能否利用量子多体物理中的张量网络形式化方法来构造和分析新型容量可达码族？
• RQ5 卷积极化码在连续取消解码下的渐近误码指数的确切值是多少？

主要发现

• 卷积极化码实现了渐近误码指数 $\beta' < \frac{1}{2}\log_2 3 \approx 0.792$，显著优于标准极化码的 $\beta = \frac{1}{2}$。
• 证明了该码可实现极化并指数抑制误码概率，确认其在连续取消解码下具有容量可达性。
• 数值仿真显示误码率曲线的误码平台区更陡峭，表明相比标准极化码，有限尺寸效应更小。
• 解码复杂度仅比极化码略有增加，保持了实际可行性。
• 通过不增加生成矩阵大小，避免了大矩阵极化码中出现的 $O(2^l / l)$ 复杂度爆炸问题。
• 张量网络收缩调度实现了比特信道误码概率的高效计算，使极化动态过程的精确分析成为可能。