[论文解读] Correspondance de Jacquet-Langlands étendue à toutes les représentations

Alexandru Ioan Badulescu|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2002

Philosophy, Science, and History被引用 4

一句话总结

该论文将局部朗兰兹对应关系推广至 $ p $-进域 $ F $ 上 $ GL_n(F) $ 及其内形的全部光滑不可约表示，通过保持特征标对应并与诱导表示相容的格罗滕迪克群同态实现。关键贡献是一个典范的、满射的同态 $ \mathbf{LJ}: Grot(GL_n(F)) \to Grot(G') $，该同态推广了经典对应关系，并证明了一大类表示（包括来自余谱分量的诱导表示）的酉性。

ABSTRACT

We propose a generalisation of the Jacquet-Langlands correspondence to the whole Grothendieck group of finite lenght admissible representations. As an application we prove some particular cases of the global Jacquet-Langlands correspondence, and that a class of representations of a inner form of GL_n over a p-adic field is unitarisable, which agree with some conjecture of Tadic.

研究动机与目标

• 将局部雅克布-朗兰兹对应关系从平方可积类型表示推广至 $ GL_n(F) $ 的所有光滑不可约表示。
• 在 $ GL_n(F) $ 及其内形的格罗滕迪克群之间定义一个保持特征标对应并与抛物诱导相容的典范同态。
• 建立由全局雅克布-朗兰兹对应关系产生的某类表示的酉性，特别是余谱中的那些表示。
• 澄清全局对应关系的局部行为，这些行为在每个位置上未必保持经典的雅克布-朗兰兹对应关系。
• 提供一个理解 $ GL_n $ 的余谱中表示如何对应于 $ GL_n $ 内形上表示的框架。

提出的方法

• 在 $ GL_n(F) $ 与 $ G' $ 的光滑、有限长度表示的格罗滕迪克群之间定义一个同态 $ \mathbf{LJ}: Grot(GL_n(F)) \to Grot(G') $，使其保持特征标对应。
• 将 $ \mathbf{LJ} $ 特征化为唯一满足 $ \pi \in Grot(GL_n(F)) $ 的特征标与 $ \mathbf{LJ}(\pi) $ 的特征标相对应的同态。
• 证明 $ \mathbf{LJ} $ 是满射，并且其在符号意义下推广了经典雅克布-朗兰兹对应关系。
• 构造一个截面 $ \mathbf{JL}: Grot(G') \to Grot(GL_n(F)) $，其为单射且同样保持特征标对应。
• 利用同态 $ \mathbf{LJ} $ 分析全局对应关系并推导其局部后果，特别是关于酉性。
• 将结果应用于形如 $ Lg(\nu^{-k/2} \delta \otimes \cdots \otimes \nu^{k/2} \delta) $ 的诱导表示，证明在特定条件下其具有酉性。

实验结果

研究问题

• RQ1 雅克布-朗兰兹对应关系能否推广至 $ GL_n(F) $ 的所有光滑不可约表示，而不仅限于平方可积表示？
• RQ2 全局雅克布-朗兰兹对应关系是否在每个位置上都保持局部对应关系，还是会将表示与其对偶混合？
• RQ3 对于给定的 $ GL_n(F) $ 的光滑不可约表示 $ \pi $，是否存在其在内形 $ G' $ 上的对应表示，且该表示是否不可约？
• RQ4 在何种条件下，从 $ GL_n $ 的余谱分量诱导出的表示是酉的？
• RQ5 格罗滕迪克群同态 $ \mathbf{LJ} $ 如何与抛物诱导及阿贝尔对合相关联？

主要发现

• 同态 $ \mathbf{LJ}: Grot(GL_n(F)) \to Grot(G') $ 由保持特征标对应唯一确定，且为满射。
• 同态 $ \mathbf{LJ} $ 将经典雅克布-朗兰兹对应关系推广至所有光滑不可约表示（符号意义下）。
• $ \mathbf{LJ} $ 的核被显式描述，从而提供了该对应关系的完整代数刻画。
• 存在一个截面 $ \mathbf{JL}: Grot(G') \to Grot(GL_n(F)) $，其为单射且同样保持特征标对应。
• 该对应关系与抛物诱导相容，并尊重阿贝尔对合，确保其与标准表示论函子兼容。
• 本文证明：当 $ k \mid r $ 时，形如 $ Lg(\nu^{-k/2} \delta \otimes \cdots \otimes \nu^{k/2} \delta) $ 的表示（其中 $ \delta $ 是 $ GL_{r/k}(A_v) $ 的右-连通-不可约表示）是酉可约的。