[论文解读] Counting De Bruijn sequences as perturbations of linear recursions

Don Coppersmith, Robert C. Rhoades+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文通过加权矩阵树定理和德布鲁因图中入树与哈密顿路径之间的对应关系，推导出一种生成函数，用于计数与给定线性递推关系恰好在 k 个位置不同的二元德布鲁因序列。关键结果表明，该生成函数可表示为状态空间中环的乘积，每个环贡献一个因子 $ p_k(y) = (1+y)^k - (1-y)^k $，从而推广了弗里耶·圣特-玛丽于 1894 年对德布鲁因序列的计数结果。

ABSTRACT

Every binary De~Bruijn sequence of order n satisfies a recursion 0=x_n+x_0+g(x_{n-1}, ..., x_1). Given a function f on (n-1) bits, let N(f; r) be the number of functions generating a De Bruijn sequence of order n which are obtained by changing r locations in the truth table of f. We prove a formula for the generating function \sum_r N(\ell; r) y^r when \ell is a linear function. The proof uses a weighted Matrix Tree Theorem and a description of the in-trees (or rooted trees) in the n-bit De Bruijn graph as perturbations of the Hamiltonian paths in the same graph.

研究动机与目标

• 通过细化计数方法，将弗里耶·圣特-玛丽 1894 年对德布鲁因序列的计数推广，以统计与给定线性递推关系恰好在 k 个位置不同的序列数量。
• 构建一个生成函数 $ G(f;y) = \sum_k N(f;k) y^k $，用于枚举通过翻转线性函数 $ f $ 的真值表中 k 个位所获得的德布鲁因序列。
• 建立 $ n $-比特德布鲁因图中入树（有根生成树）的结构与哈密顿路径之间的联系，从而实现通过谱方法进行计数。
• 证明对于线性函数 $ \ell $，该生成函数可分解为状态空间中本原项链环的乘积，每个环贡献一项 $ p_k(y) = (1+y)^k - (1-y)^k $。

提出的方法

• 在 $ n $-比特德布鲁因图上使用加权邻接矩阵 $ W_{\ell,n} $，其中边的权重为 1 或 $ y $，具体取决于其是否与线性递推一致。
• 应用加权矩阵树定理，将生成函数与 $ W_{\ell,n} $ 的特征多项式关联起来，利用 $ (1+y)I - W_{\ell,n} $ 的行和列和为零的性质。
• 引入基于特征的态空间分解，使用 $ X_\alpha = \sum_x (-1)^{\alpha \cdot x} [x] $，该表达式可对 $ W_{\ell,n} $ 的作用进行对角化。
• 通过特征空间中的伽罗瓦环识别 $ W_{\ell,n} $ 的特征子空间，表明每个长度为 $ r $、首比特中含 $ k $ 个 1 的环，会在特征多项式中贡献一个因子 $ z^r - (1+y)^{r-k}(1-y)^k $。
• 通过线性泛函（特别是 $ \beta_{n-1} $）将特征空间中的伽罗瓦环映射到态空间中的环，以建立环结构的对应关系，并推导出最终的乘积公式。
• 利用入树与德布鲁因图中哈密顿路径之间的对应关系，为谱计数中使用矩阵树定理提供理论依据。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的线性函数 $ \ell $，通过在真值表中恰好翻转 $ k $ 个条目，能获得多少个阶为 $ n $ 的德布鲁因序列？
• RQ2 对于线性 $ \ell $，此类扰动的生成函数 $ G(\ell;y) = \sum_k N(\ell;k) y^k $ 是否能以闭式表达？
• RQ3 编码线性递推扰动的加权邻接矩阵 $ W_{\ell,n} $ 的代数结构是什么？
• RQ4 线性递推的态空间中的环如何与 $ W_{\ell,n} $ 的特征值相关联？这种关联如何用于计算生成函数？
• RQ5 是否存在一个统一的公式 $ G(\ell;y) $，其仅依赖于线性递推在德布鲁因图中的环分解结构？

主要发现

• 对于任意满足常数项为零的线性函数 $ \ell: \mathbb{F}_2^{n-1} \to \mathbb{F}_2 $，其生成函数为 $ G(\ell;y) = 2^{-n} \prod_{{\bf c} \in C(\ell)} p_{d({\bf c})}(y) $，其中 $ p_k(y) = (1+y)^k - (1-y)^k $，$ d({\bf c}) $ 表示本原项链类 $ {\bf c} $ 中 1 的个数。
• 在 $ y=1 $ 处求值该生成函数，可恢复弗里耶·圣特-玛丽的经典结果：阶为 $ n $ 的德布鲁因序列总数为 $ 2^{2^{n-1} - n} $。
• 当 $ \ell $ 生成一个不含 $ n $ 个连续零的 $ (2^n - 1) $-环时，公式简化为 $ G(\ell;y) = 2^{-n} \left( (1+y)^{2^{n-1}} - (1-y)^{2^{n-1}} \right) $，与弗赖尔斯（2015）的结果一致。
• 对于零函数 $ 0_n $，其生成函数为 $ G(0_n;y) = 2^{-n} \prod_i p_i(y)^{e_{n,i}} $，其中 $ e_{n,i} = \sum_{d|n} L(d,i) $，$ L(d,i) $ 表示长度为 $ d $、含 $ i $ 个 1 的本原项链的数量。
• 该方法建立了特征空间与态空间之间伽罗瓦环的谱对应关系，表明 $ W_{\ell,n} $ 的特征值由环的长度以及环中首比特的 1 的个数决定。
• 该证明验证了第二作者基于实验数据和随机排列类比提出的猜想，并推广了赫勒塞斯与克洛夫关于 $ N(\ell;3) $ 的早期结果。