[论文解读] Counting integral matrices with a given characteristic polynomial

Nimish A. Shah|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 11

一句话总结

本文通过使用在齐性空间 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})/\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ 上的多项式轨迹等分布性，对具有给定首一不可约特征多项式的整矩阵的渐近计数提供了一个简化的证明，推广了Ratner定理。它推导出渐近常数 $C_P$ 的精确公式，该公式以由多项式定义的数域的代数数论不变量表示。

ABSTRACT

We give a simpler proof of an earlier result giving an asymptotic estimate for the number of integral matrices, in large balls, with a given monic integral irreducible polynomial as their common characteristic polynomial. The proof uses equidistributions of polynomial trajectories on SL(n,R)/SL(n,Z), which is a generalization of Ratner's theorem on equidistributions of unipotent trajectories. We also compute the exact constants appearing in the above mentioned asymptotic estimate.

研究动机与目标

• 提供关于具有固定首一不可约特征多项式的整矩阵数量的渐近估计的更简单、更直接的证明。
• 计算此类矩阵增长速率中渐近常数 $C_P$ 的精确值。
• 以由多项式定义的数域的代数数论不变量明确表达 $C_P$。
• 将 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})/\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ 上的多项式类似轨迹的等分布性确立为渐近分析的关键工具。
• 推广并简化早期工作中（特别是Eskin-McMullen与Duke-Rudnick-Sarnak的工作）所采用的遍历论方法。

提出的方法

• 使用在 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})/\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ 上的多项式轨迹等分布结果，扩展Ratner关于幂零流的定理。
• 通过群作用将矩阵计数问题约化为齐性空间上的遍历论问题。
• 应用关于多项式映射 $\Theta: \mathbb{R}^m \to \mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$（满足 $\Theta(0) = I$）的广义等分布定理（定理1.3），在非聚焦条件下成立。
• 构造群 $\Gamma$ 在 $K\backslash G$ 上右作用的基本域 $\mathfrak{F}$，并利用包含哈尔测度和离散子群的体积公式。
• 使用体积公式 $\mu(G/\Gamma) = \frac{\nu(K)}{\#(K_0 \cap \Gamma)} \cdot \eta(\mathfrak{F})$ 将几何与算术不变量联系起来。
• 验证矩阵轨道的极限分布对应于齐性空间上的不变测度，从而实现渐近计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有固定首一不可约特征多项式 $P$ 的 $n \times n$ 整矩阵的数量的精确渐近增长速率是什么？
• RQ2 渐近常数 $C_P$ 如何用数域 $K = \mathbb{Q}(\alpha)$（其中 $\alpha$ 是 $P$ 的根）的代数数论不变量表示？
• RQ3 是否可以利用 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})/\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ 上的多项式轨迹等分布性，直接证明渐近计数，从而绕过早期的遍历论工具？
• RQ4 当整数环 $\mathcal{O}_K$ 与 $\mathbb{Z}[\alpha]$ 重合时，其成立条件是什么，这对 $C_P$ 的渐近公式有何影响？
• RQ5 公式中 $C_P$ 的三个体积分量具有何种几何与算术解释？

主要发现

• 具有特征多项式 $P$ 的整矩阵的渐近数量按 $C_P T^{n(n-1)/2}$ 增长，其中 $C_P > 0$ 是依赖于 $P$ 的常数。
• 在 $\mathbb{Z}[\alpha]$ 是 $K = \mathbb{Q}(\alpha)$ 的整闭包的假设下，$C_P$ 的精确值为 $\frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}hR}{w\sqrt{D}} \cdot \frac{\pi^{m/2}/\Gamma(1 + m/2)}{\prod_{s=2}^n \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)}$，其中 $m = n(n-1)/2$。
• $C_P$ 分解为三个几何体积分量：类群商 $J^0(K)/K^\times$ 的体积、$\mathbb{R}^m$ 中单位球的体积，以及Minkowski基本域中行列式为1的曲面的体积。
• 当 $\mathbb{Z}[\alpha]$ 是 $K$ 中的整闭包时，该 $C_P$ 公式成立，例如当 $\alpha$ 是单位根时成立。
• 在非聚焦和非退化条件下，建立了 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})/\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ 上多项式轨迹的等分布性，推广了Ratner定理。
• 该证明表明，$\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ 作用下矩阵轨道的极限分布是齐性空间上唯一的不变测度，从而实现了精确的渐近计数。