[论文解读] Coupled fixed point theorems for $\phi$-contractive mixed monotone mappings in partially ordered metric spaces

Vasile Berinde|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2011

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 1被引用 53

一句话总结

本文通过引入广义φ-压缩条件，弱化了先前的压缩假设，在部分有序度量空间中建立了混合单调映射的新耦合不动点定理。该方法在迭代点之间的平均距离上使用(ϕ, ψ)-压缩条件，使得在比以往更宽松的条件下，能够获得耦合不动点的存在性与唯一性结果。主要贡献在于构建了一个更广泛的框架，适用于在较弱的Lipschitz型假设下求解非线性Fredholm积分方程。

ABSTRACT

In this paper we extend the coupled fixed point theorems for mixed monotone operators $F:X imes X ightarrow X$ obtained in [T.G. Bhaskar, V. Lakshmikantham, extit{Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications}, Nonlinear Anal. extbf{65} (2006) 1379-1393] and [N.V. Luong and N.X. Thuan, extit{Coupled fixed points in partially ordered metric spaces and application}, Nonlinear Anal. extbf{74} (2011) 983-992], by weakening the involved contractive condition. An example as well an application to nonlinear Fredholm integral equations are also given in order to illustrate the effectiveness of our generalizations.

研究动机与目标

• 通过弱化压缩条件，推广现有在部分有序度量空间中关于混合单调映射的耦合不动点定理。
• 在早先工作的假设更宽松的条件下，将不动点结果的适用性扩展至非线性积分方程。
• 通过采用对称的、基于平均值的压缩条件，统一并改进Bhaskar与Lakshmikantham（2006）以及Luong与Thuan（2011）的早期结果。
• 在不假设映射连续性的前提下，通过替代的完备性假设，建立耦合不动点的存在性与唯一性。
• 通过将新框架应用于非线性Fredholm积分方程，展示其有效性。

提出的方法

• 引入一种新的压缩条件，涉及两个函数ϕ ∈ Φ和ψ ∈ Ψ，其中ϕ连续、非减，且对t > 0有ϕ(t) < t；ψ下半连续，且对t > 0有ψ(t) > 0。
• 在乘积空间X×X上定义度量d₂，定义为d₂((x,y),(u,v)) = [d(x,u) + d(y,v)]/2，确保若(X,d)完备，则(X×X, d₂)也完备。
• 将耦合不动点问题转化为算子T: X×X → X×X的不动点问题，其中T(x,y) = (F(x,y), F(y,x))。
• 对算子T应用(ϕ,ψ)-压缩条件：对Y ≥ V（在乘积序下），有ϕ(d₂(TY, TV)) ≤ ϕ(d₂(Y,V)) − ψ(d₂(Y,V))。
• 在满足x₀ ≤ F(x₀,y₀), y₀ ≥ F(y₀,x₀)或其逆不等式的初始对下，对序列(xₙ, yₙ)应用Picard迭代。
• 利用距离序列的非增性以及ϕ和ψ的性质，证明序列的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bhaskar与Lakshmikantham的耦合不动点定理中的压缩条件能否被弱化，同时仍保持耦合不动点的存在性与唯一性？
• RQ2 在混合单调映射的耦合不动点定理中，F的连续性假设能在多大程度上被放松？
• RQ3 新压缩条件能否应用于证明在比先前结果更弱假设下，非线性Fredholm积分方程解的存在性与唯一性？
• RQ4 与早期条件相比，新对称压缩条件在一般性与适用性方面有何优势？
• RQ5 双重初始条件（x₀ ≥ F(x₀,y₀), y₀ ≤ F(y₀,x₀)）在迭代格式收敛性中起什么作用？

主要发现

• 本文在广义(ϕ,ψ)-压缩条件下建立了新的耦合不动点定理，该条件严格弱于Bhaskar与Lakshmikantham（2006）以及Luong与Thuan（2011）的压缩条件。
• 在F连续或满足假设1.1（序列序完备性）的假设下，证明了耦合不动点的存在性与唯一性，扩展了先前结果。
• 提供了一个例子，表明新条件可在早期条件(1.1)与(1.2)不成立时仍被满足。
• 新框架被应用于非线性Fredholm积分方程，证明了在比Luong与Thuan（2011）更弱的条件下，方程解的存在性与唯一性。
• 条件(λ + μ) · sup_t ∫_a^b |K₁(t,s) − K₂(t,s)| ds ≤ 1足以保证积分方程有唯一解，即使2 max{λ,μ} · sup_t ∫_a^b |K₁(t,s) − K₂(t,s)| ds > 1，此时早期条件不成立。
• 证明技术表明，双重初始条件（x₀ ≥ F(x₀,y₀), y₀ ≤ F(y₀,x₀)）同样可导致收敛，从而扩大了方法的适用范围。