[论文解读] Coupling Navier-Stokes and Gross-Pitaevskii equations for the numerical simulation of two-fluid quantum flows

Marc Brächet, Georges Sadaka+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2022

Quantum, superfluid, helium dynamics参考文献 40被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种新颖的数值模型，将不可压缩的纳维-斯托克斯（NS）方程与格罗斯-皮塔耶夫斯基（GP）方程耦合，以在无经验近似的情况下模拟双流体量子流动。通过引入正则化的超流体涡量、基于协变梯度的滑移速度场，以及物理上一致的互摩擦力，该模型在完全基于GP的超流体框架内实现了对量子化涡旋动力学（包括涡旋的产生与重连）的精确模拟，并通过涡旋晶体、偶极子和环状涡旋等基准测试得到验证，自然地捕捉到了完整的涡旋重连动力学。

ABSTRACT

Numerical methods for solving the Navier-Stokes equations for classical (or normal) viscous fluids are well established. This is also the case for the Gross-Pitaevskii equation, governing quantum inviscid flows (or superfluids) in the zero temperature limit. In quantum flows, like liquid helium II at intermediate temperatures between zero and 2.17 K, a normal fluid and a superfluid coexist with independent velocity fields. The most advanced existing models for such systems use the Navier-Stokes equations for the normal fluid and a simplified description of the superfluid, based on the dynamics of quantized vortex filaments, with ad hoc reconnection rules. There was a single attempt (C. Coste, The European Physical Journal B - Condensed Matter and Complex Systems, 1998) to couple Navier-Stokes and Gross-Pitaevskii equations in a global model intended to describe the compressible two-fluid liquid helium II. We present in this contribution a new numerical model to couple a Navier-Stokes incompressible fluid with a Gross-Pitaevskii superfluid. Coupling terms in the global system of equations involve new definitions of the following concepts: the regularized superfluid vorticity and velocity fields, the friction force exerted by quantized vortices to the normal fluid, the covariant gradient operator in the Gross-Pitaevskii based on a slip velocity respecting the dynamics of vortex lines in the normal fluid. A numerical algorithm based on pseudo-spectral Fourier methods is presented for solving the coupled system of equations.Finally, we numerically test and validate the new numerical system against well-known benchmarks for the evolution in a normal fluid of different types or arrangements of quantized vortices (vortex crystal, vortex dipole and vortex rings). The new coupling model opens new possibilities to revisit and enrich existing numerical results for complex quantum fluids.

研究动机与目标

• 开发液氦II中双流体量子流动的完全耦合数值模型，其中正常流体与超流体组分共存且具有独立的速度场。
• 克服现有模型依赖经验性涡丝动力学或简化的超流体方程的局限，这些模型无法自然地描述涡旋的产生与重连。
• 基于正则化涡量、滑移速度和互摩擦力等物理解释概念，建立纳维-斯托克斯方程与格罗斯-皮塔耶夫斯基方程之间的一致耦合。
• 通过已知的正常流体环境中量子化涡旋动力学的基准测试验证新模型。

提出的方法

• 采用伪谱傅里叶谱方法求解，将不可压缩的纳维-斯托克斯方程用于正常流体，格罗斯-皮塔耶夫斯基方程用于超流体，实现数值求解。
• 构建正则化的超流体速度场以平滑奇异的线涡行为，确保数值稳定性和物理一致性。
• 基于正常流体与涡丝线之间的相对运动，通过摩擦力与马格努斯力的平衡关系推导出滑移速度场，并通过协变梯度算子将其引入GP方程。
• 将互摩擦力作为NS方程中的源项建模，其来源于超流体涡量与滑移速度，确保两股流体之间的动量传递。
• 耦合项的设计与HVBK及LV-NS模型兼容，同时保持GP方程的完整动力学特性，包括涡旋的产生与重连。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够通过完全耦合的NS-GP模型在不依赖经验性涡丝模型的情况下模拟双流体量子流动？
• RQ2 如何从GP方程框架中一致地推导出正常流体与超流体组分之间的互摩擦力？
• RQ3 新耦合模型能否在正常流体中重现已知的涡旋动力学，如涡旋环、偶极子和晶体？
• RQ4 该模型是否能自然地捕捉到涡旋重连与产生，而无需人为假设？

主要发现

• 新型GP-NS耦合模型成功模拟了正常流体中涡旋晶体的演化，重现了预期的动力学行为与稳定性。
• 该模型准确捕捉了涡旋偶极子的形成与运动，包括涡丝线之间的相互感应与反向旋转。
• 对于涡旋环，模型再现了三重涡旋结构——由一个超流体环与两个反向旋转的正常流体涡旋环组成——与已知的LV-NS结果一致。
• 在超流体涡旋环对撞过程中，模型自然模拟了涡旋重连过程，包括涡丝线段的交换与新纠缠结构的形成，且无需任何经验性重连规则。
• 模拟显示，在重连发生前，其排斥运动比LV-NS模型更为强烈，影响了两环之间正常流体的拉伸行为，表明其具有更真实的流体动力学响应。