[论文解读] Covering spaces of character varieties

Sean Lawton, Daniel A. Ramras|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 48被引用 14

一句话总结

该论文证明了，当目标群的基本群为无 torsion 时，李群之间的覆盖同态在曲面、自由群及自由交换群的基本群的表示模空间（特征簇）之间诱导出正规覆盖映射。关键结果是，模空间上的诱导映射是一个结构群同构于 Hom(Γ, ker(p)) 的正规覆盖，且当群 Γ 为指数消去群时，该映射是满射，从而可显式计算特征簇的基本群，包括得出稳定模空间 Hom(π₁Mᵍ, SU)/SU 对于 g ≥ 1 同伦等价于 ℂP∞ 的结论。

ABSTRACT

Let F be a finitely generated discrete group. Given a covering map H to G of Lie groups with G either compact or complex reductive, there is an induced covering map Hom(F, H) to Hom(F, G). We show that when the fundamental group of G is torsion-free and F is free, free Abelian, or the fundamental group of a closed Riemann surface M of genus g, this map induces a covering map between the corresponding moduli spaces of representations. We give conditions under which this map is actually the universal covering, leading to new information regarding fundamental groups of these moduli spaces. Let pi be the fundamental group of M. As an application, we show that for g>0, the stable moduli space Hom(pi, SU)/SU is homotopy equivalent to infinite complex projective space. In the Appendix by Ho and Liu, it is shown show that there is a bijection between the number of connected components of Hom(pi, G) and the fundamental group of [G,G] for all complex connected reductive Lie groups G.

研究动机与目标

• 理解有限生成群到李群的表示模空间（特征簇）的拓扑结构。
• 研究李群之间的覆盖映射如何诱导其对应特征簇之间的覆盖映射。
• 在基本群无 torsion 的条件下，计算曲面群、自由群及自由交换群的特征簇的基本群。
• 建立模空间之间诱导映射为万有覆盖的条件，从而揭示其拓扑的新信息。
• 将关于特征簇路径分支的结果推广至复半单李群，特别是曲面群的情形。

提出的方法

• 利用覆盖同态 p: H → G 诱导的映射 p* : Hom(Γ, H) → Hom(Γ, G)，构造对应表示模空间之间的映射。
• 证明在点集商空间 QΓ(H) → QΓ(G) 上的诱导映射是一个结构群为 Hom(Γ, ker(p)) 的正规覆盖映射。
• 证明该映射的像是余域中路径分支的并集，并且限制到模空间 XΓ(H) → XΓ(G) 上同样是结构群相同的正规覆盖映射。
• 应用指数消去群（如自由群、自由交换群、曲面群）的理论，证明该覆盖映射是满射，从而实现基本群的显式计算。
• 利用万有覆盖映射 ρℂ: 𝔥ℂ × ~DG → G 定义一个良定的障碍映射 O₂: Hom(π₁Σ, G) → Ker(ρℂ) ≅ π₁(DG)，并证明其纤维连通，从而建立双射 π₀(Hom(π₁Σ, G)) ≅ π₁(DG)。
• 借助代数几何与几何不变量理论（GIT）的结果，确保多项稳定商 XΓ(G) 同胚于赋予欧氏拓扑的 GIT 商。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，李群之间的覆盖同态 p: H → G 会诱导出对应表示模空间 XΓ(H) → XΓ(G) 之间的覆盖映射？
• RQ2 模空间之间诱导的覆盖映射在何时为正规（可换）覆盖？其结构群为何？
• RQ3 当 Γ 为闭黎曼曲面的基本群，G 为复半单或紧致李群且 π₁(G) 无 torsion 时，模空间 XΓ(G) 的基本群是什么？
• RQ4 对于曲面群 π₁Σ 与复半单 G，Hom(π₁Σ, G) 的路径分支与 DG 的基本群 π₁(DG) 有何关系？
• RQ5 模空间之间的万有覆盖映射能否显式实现？这对稳定模空间的同伦类型有何含义？

主要发现

• 当 G 为紧致或复半单且 π₁(G) 无 torsion 时，诱导映射 p* : XΓ(H) → XΓ(G) 是一个结构群同构于 Hom(Γ, ker(p)) 的正规覆盖映射。
• 对于指数消去群 Γ（如自由群、自由交换群、曲面群），诱导覆盖映射是满射，因此结构群在纤维上作用传递。
• 当曲面 Σ 的亏格 g ≥ 1 且 G 为复半单群且 π₁(G) 无 torsion 时，模空间 Xπ₁Σ(G) 的基本群同构于 π₁(G)^b₁(Σ)，其中 b₁(Σ) 为第一贝蒂数。
• 稳定模空间 Hom(π₁Mᵍ, SU)/SU 对于 g ≥ 1 同伦等价于 ℂP∞，该结论源自特征簇的万有覆盖结构。
• 对于复半单 G，Hom(π₁Σ, G) 的路径分支与 DG 的基本群 π₁(DG) 之间存在双射，该结论由 Ho 与 Liu 在附录中证明。
• 障碍映射 O₂: Hom(π₁Σ, G) → π₁(DG) 良定且满射，其纤维连通，从而确立双射 π₀(Hom(π₁Σ, G)) ≅ π₁(DG)。