[论文解读] Covering theory of categories without free action assumption and derived equivalences

Hideto Asashiba|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文引入了在不需群作用自由或局部有界的條件下，對無群作用之範疇的廣義 G-覆蓋函子概念，透過商範疇 C/G 建立其普遍性質。該研究推廣了導出等價的覆蓋技術，並釐清了在非自由設定下，商範疇與 smash 乘積之間的關係，同時提供了一種基於箭頭圖的斜單純範疇表示，以支援明確計算。

ABSTRACT

Abstract. Let G be a group of automorphisms of a category C. We give a definition for a functor F: C → C ′ to be a G-covering and three constructions of the orbit category C/G, which generalizes the notion of a Galois covering of locally finitedimensional categories with group G whose action on C is free and locally bonded. Here C/G is defined for any category C and we do not require that the action of G is free or locally bounded. We show that a G-covering is a universal “G-invariant” functor and is essentially given by the canonical functor C → C/G. By using this we improve a covering technique for derived equivalence. Also we prove theorems describing the relationships between smash product construction and the orbit category construction by Cibils and Marcos (2006) without the assumption that the G-action is free. The orbit category construction by a cyclic group generated by an auto-equivalence modulo natural isomorphisms (e.g., the construction of cluster categories) is justified by a notion of the “colimit orbit category”. In addition, we give a presentation of a skew monoid category by a quiver with relations, which enables us to calculate many examples.

研究动机与目标

• 將範疇論中伽羅瓦覆蓋的概念推廣至群作用非自由之情形。
• 定義任意範疇 C 與群 G 的商範疇 C/G，即使作用非自由或非局部有界。
• 確立 G-覆蓋為普遍的 G-不變函子，其特徵由自然映射 C → C/G 所決定。
• 透過新覆蓋框架改進導出等價性的推導技術。
• 釐清在不假設群作用自由之情形下，smash 乘積構造與商範疇之間的關係。

提出的方法

• 提出一種新的 G-覆蓋函子定義，不需群作用為自由或局部有界。
• 使用三種不同方法構造商範疇 C/G，推廣先前針對自由作用的構造。
• 證明自然函子 C → C/G 是所有 G-不變函子中具有普遍性的。
• 運用 G-覆蓋的普遍性質，將導出等價技術延伸至非自由群作用之情形。
• 透過範疇對偶性，建立 smash 乘積構造與商範疇之間的連結。
• 提供斜單純範疇的箭頭圖與關係表示，以促進具體例子的計算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何將伽羅瓦覆蓋的概念延伸至群作用非自由或非局部有界之範疇？
• RQ2 自然映射 C → C/G 的普遍性質為何？其如何特徵化 G-覆蓋？
• RQ3 當群作用非自由時，商範疇如何推廣傳統的構造？
• RQ4 在無自由作用之情形下，smash 乘積構造與商範疇構造之間有何關係？
• RQ5 斜單純範疇能否透過箭頭圖與關係有效表示，以支援具體計算？

主要发现

• 對於任意範疇 C 與群 G，商範疇 C/G 均有明確定義，無需群作用為自由或局部有界。
• G-覆蓋被普遍特徵化為普遍的 G-不變函子，其中自然映射 C → C/G 即為普遍態射。
• 透過新覆蓋框架，導出等價技術得以延伸至非自由群作用，從而獲得改進。
• 即使在 G-作用非自由之情形下，smash 乘積與商範疇之間的關係亦獲得釐清。
• 透過「合範疇商」之概念，以自同構模自然同構的方式構造簇類範疇的合理性獲得支持。
• 提供了斜單純範疇的箭頭圖與關係表示，使許多例子的明確計算成為可能。