[论文解读] CR-Tractors and the Fefferman Space

Andreas Čap, A. Rod Gover|ArXiv.org|Nov 30, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文提出了一套统一的拖曳微分几何框架，以阐明CR结构与其相关Fefferman共形空间之间的几何关系。结果表明，CR拖曳丛对应于Fefferman空间上沿纤维方向平行的共形拖曳丛，从而实现了对不变微分算子的系统处理，并证明了Fefferman空间始终存在非平凡解，适用于诸如twistor旋量和Killing形式等共形不变的超定微分系统。

ABSTRACT

We develop the natural tractor calculi associated to conformal and CR structures as a fundamental tool for the study of Fefferman's construction of a canonical conformal class on the total space of a circle bundle over a non--degenerate CR manifold of hypersurface type. In particular we construct and treat the basic objects that relate the natural bundles and natural operators on the two spaces. This is illustrated with several applications: We prove that a number of conformally invariant overdetermined systems admit non--trivial solutions on any Fefferman space. We show that the space of conformal Killing fields on a Fefferman space naturally decomposes into a direct sum of subspaces, which admit an interpretaion as solutions of certain CR invariant PDE's. Finally we explicitly analyze the relation between tractor calculus on a CR manifold and the complexified conformal tractor calculus on its Fefferman space, thus obtaining a powerful computational tool for working with the Fefferman construction.

研究动机与目标

• 解决自然丛与CR流形上算子及其Fefferman共形扩张之间复杂关系的问题。
• 为利用拖曳微分几何研究Fefferman构造提供一个概念清晰且计算高效的框架。
• 建立CR拖曳丛与Fefferman空间上共形拖曳丛之间的确切对应关系。
• 证明共形不变的超定微分系统（如Killing形式、twistor旋量）在所有Fefferman空间上均存在非平凡解。
• 表明Fefferman空间上的无穷小共形对称性可分解为CR不变PDE的解，从而建立共形几何与CR几何之间的联系。

提出的方法

• 引入并利用自然拖曳丛与联络作为CR结构与共形结构的几何工具。
• 证明CR标准拖曳丛与Fefferman空间上沿纤维方向平行的共形标准拖曳丛之间存在同构关系。
• 利用Fefferman空间上的复化共形拖曳微分几何分析CR结构的拉回。
• 应用拖曳联络，建立CR与共形设定之间曲率与不变算子的关联。
• 利用规范Cartan联络及其与Webster–Tanaka联络的关系，推导显式公式。
• 利用超定系统解对应于拖曳丛中平行截面的事实，实现系统的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过拖曳微分几何系统地理解Fefferman构造，以关联CR几何与共形几何？
• RQ2 CR拖曳丛与Fefferman空间上共形拖曳丛之间的确切关系是什么？
• RQ3 共形不变的超定系统（如Killing形式与twistor旋量方程）是否在Fefferman空间上存在非平凡解？
• RQ4 Fefferman空间上的无穷小共形等距如何分解？其分量满足哪些PDE？
• RQ5 能否利用Fefferman空间上的复化共形拖曳微分几何来计算并解释CR不变对象？

主要发现

• Fefferman空间上无穷小共形等距的空间自然分解为子空间，这些子空间对应于特定CR不变PDE的解。
• 所有Fefferman空间均存在共形不变超定系统（包括twistor旋量与Killing形式方程）的非平凡解。
• 基流形$M$上的CR-Einstein结构在Fefferman空间$\tilde{M}$上诱导出一个近乎Einstein结构，但$\tilde{M}$上不存在全局Einstein度量。
• Fefferman空间在其共形类中不具有全局Einstein度量，这由潜在平行拖曳截面实部上$S^1$作用的非零Holonomy所证明。
• Fefferman空间上的标准拖曳丛通过拉回得到一个与CR拖曳丛同构的丛，且沿纤维的平行性条件编码了CR结构。
• Fefferman空间上的复化共形拖曳微分几何为分析CR不变量提供了强有力的计算工具，特别是通过将CR标准拖曳丛识别为纤维平行的共形拖曳丛。