[论文解读] Crank-Nicolson scheme for stochastic differential equations driven by fractional Brownian motions

Yaozhong Hu, Yanghui Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文研究了分数布朗运动（fBm）驱动的随机微分方程（SDEs）的Crank-Nicolson格式，其赫斯特参数 $ H \in (\frac{1}{2}, 1) $。研究建立了依赖于维度和漂移项的精确收敛速率：在一维SDE且漂移为零时为 $ n^{-2H} $，在漂移非零时为 $ n^{-\frac{1}{2}-H} $，在一般 $ m>1 $ 情况下为 $ n^{\frac{1}{2}-2H} $，且极限误差分布由与原始fBm独立的独立布朗运动驱动的线性SDE决定。

ABSTRACT

We study the Crank-Nicolson scheme for stochastic differential equations (SDEs) driven by multidimensional fractional Brownian motion $(B^{1}, \dots, B^{m})$ with Hurst parameter $H \in (\frac 12,1)$. It is well-known that for ordinary differential equations with proper conditions on the regularity of the coefficients, the Crank-Nicolson scheme achieves a convergence rate of $n^{-2}$, regardless of the dimension. In this paper we show that, due to the interactions between the driving processes $ B^{1}, \dots, B^{m} $, the corresponding Crank-Nicolson scheme for $m$-dimensional SDEs has a slower rate than for the one-dimensional SDEs. Precisely, we shall prove that when $m=1$ and when the drift term is zero, the Crank-Nicolson scheme achieves the exact convergence rate $n^{-2H}$, while in the case $m=1$ and the drift term is non-zero, the exact rate turns out to be $n^{-\frac12 -H}$. In the general case when $m>1$, the exact rate equals $n^{\frac12 -2H}$. In all these cases the limiting distribution of the leading error is proved to satisfy some linear SDE driven by Brownian motions independent of the given fractional Brownian motions.

研究动机与目标

• 研究赫斯特参数 $ H > \frac{1}{2} $ 的多维分数布朗运动驱动SDE中Crank-Nicolson格式的收敛行为。
• 确定标量情况下观察到的收敛速率是否可推广至多维情形。
• 识别多维情形下的精确收敛速率，并表征主导误差项的极限分布。
• 分析漂移项以及多个fBm分量之间的相互作用对格式收敛性的影响。

提出的方法

• Crank-Nicolson格式定义为 $ X^{n}_{t_{k+1}} = X^{n}_{t_{k}} + \frac{1}{2}[V(X^{n}_{t_{k+1}}) + V(X^{n}_{t_{k}})](B_{t_{k+1}} - B_{t_{k}}) $，其中时间划分满足 $ t_k = kT/n $。
• 分析依赖于马利avin微积分与分数阶微积分，以处理fBm的粗糙路径特性和非马氏性质。
• 作者利用Doss-Sussmann表示法与乘积法则恒等式，将真实解与数值近似之间的误差进行分解。
• 关键估计通过 $ \beta $-赫斯特范数与涉及fBm增量和导数项的迭代积分的 $ L^p $-范数获得。
• 证明了归一化误差的极限分布满足由与原始fBm独立的布朗运动驱动的线性SDE。
• 证明过程涉及将误差分解为多个分量，并利用指数矩与流变体的估计来控制其 $ L^p $-范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于赫斯特参数 $ H > \frac{1}{2} $ 的多维SDE，Crank-Nicolson格式是否收敛？其收敛速率是否与标量情况相同？
• RQ2 在存在多个fBm分量和非零漂移的情况下，Crank-Nicolson格式的精确收敛速率是什么？
• RQ3 多个fBm分量之间的相互作用相较于一维情形如何影响收敛速率？
• RQ4 此类SDE中Crank-Nicolson格式主导误差项的极限分布是什么？

主要发现

• 在一维SDE且漂移为零的情况下，Crank-Nicolson格式实现了精确收敛速率 $ n^{-2H} $。
• 在一维情形下若漂移项非零，则精确收敛速率为 $ n^{-\frac{1}{2}-H} $。
• 在一般 $ m>1 $ 情况下，精确收敛速率为 $ n^{\frac{1}{2}-2H} $，该速率慢于一维零漂移情形。
• 归一化误差过程 $ n^{\text{rate}+1}(X - X^n) $ 的极限分布弱收敛于一个非退化的极限，该极限满足由与原始fBm独立的布朗运动驱动的线性SDE。
• 由于多个fBm分量之间的相互作用，收敛速率慢于确定性ODE中常见的 $ n^{-2} $ 速率。
• 分析证实了收敛速率为 $ n^{\frac{1}{2}-2H} $ 的猜想，但仅在漂移和维度满足特定条件时成立。