[论文解读] Critical Point Computations on Smooth Varieties: Degree and Complexity bounds

Mohab Safey El Din, Pierre-Jean Spaenlehauer|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文提出了光滑、等维代数簇上多项式映射的临界点的紧致度数界，该界仅依赖于多项式的次数以及一般极性簇的次数。本文提出了一种算法，可在算术复杂度为度数界的平方量级、且对输入规模和次数呈多项式依赖的前提下，计算这些临界点的有理参数化表示，前提是满足光滑性和有限性假设。

ABSTRACT

Let V $\subset$ C n be an equidimensional algebraic set and g be an n-variate polynomial with rational coefficients. Computing the critical points of the map that evaluates g at the points of V is a cornerstone of several algorithms in real algebraic geometry and optimization. Under the assumption that the critical locus is finite and that the projective closure of V is smooth, we provide sharp upper bounds on the degree of the critical locus which depend only on deg(g) and the degrees of the generic polar varieties associated to V. Hence, in some special cases where the degrees of the generic polar varieties do not reach the worst-case bounds, this implies that the number of critical points of the evaluation map of g is less than the currently known degree bounds. We show that, given a lifting fiber of V , a slight variant of an algorithm due to Bank, Giusti, Heintz, Lecerf, Matera and Solern{ó} computes these critical points in time which is quadratic in this bound up to logarithmic factors, linear in the complexity of evaluating the input system and polynomial in the number of variables and the maximum degree of the input polynomials.

研究动机与目标

• 建立光滑、等维代数簇上多项式映射临界丛的度数的紧致上界。
• 开发一种算法，以算术复杂度在临界丛度数的平方量级内，计算临界丛的有理参数化表示。
• 证明当簇具有特殊几何结构时，临界点的数量可显著小于现有最坏情况的界。
• 提供复杂度保证，其在变量数量和次数上为多项式关系，且在临界丛度数上近乎二次方。

提出的方法

• 该方法依赖于纤维提升和几何求解技术，以参数化方式表示代数集。
• 它使用 Bank 等人提出的算法变体，通过类似 Gröbner 基的约化来计算临界点。
• 通过将簇提升至更高维空间，使求值映射变为投影，从而计算临界丛。
• 该算法计算与映射 $ g $ 限制在 $ V $ 上相关的修正极性簇，使用修正的雅可比秩条件。
• 通过模复合和准线性算法实现高效的算术复杂度。
• 通过更换本原元素的步骤，确保输出为标准的有理参数化格式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅知多项式次数及其一般极性簇次数的前提下，光滑、等维代数簇上多项式映射的临界丛的确切成度数是多少？
• RQ2 当簇具有特殊几何结构时，临界点的数量能否被比现有最坏情况界更紧密地界定？
• RQ3 是否存在一种算法，能够以临界丛度数的平方复杂度，计算临界丛的有理参数化表示？
• RQ4 计算临界点的复杂度如何随输入规模变化，特别是关于变量数量和多项式次数的依赖关系？

主要发现

• 临界丛的度数被界于 $ \Delta = \sum_{j=0}^{d} \delta_{j+1}(V)(D-1)^j $，其中 $ \delta_{j+1}(V) $ 是 $ V $ 的一般极性簇的度数，$ D = \deg(g) $。
• 该界是紧致的，当极性簇的度数非最优时，可显著小于先前的最坏情况界。
• 该算法在 $ \mathbb{Q} $ 上以 $ \widetilde{O}(L\Delta^2) $ 次运算计算临界丛的有理参数化表示，其中 $ L $ 是用于计算 $ g $ 的直线程序的大小。
• 算术复杂度在 $ \Delta $ 上为二次方，在 $ L $ 上为线性，且在 $ n $、$ p $ 以及输入多项式最大次数上为多项式关系。
• 在 $ V $ 光滑且临界丛有限的假设下，该方法能保证正确性。
• 由于使用了模复合和准线性算术，该算法在实际中效率较高，且避免了昂贵的 Gröbner 基计算。