[论文解读] Critical points of Potts and O($N$) models from eigenvalue identities in periodic Temperley-Lieb algebras

Jesper Lykke Jacobsen|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

Theoretical and Computational Physics参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文通过将图多项式方法重新表述为周期 Temperley-Lieb 代数中的特征值问题，重新制定了 Potts 模型和 O(N) 模型临界温度的确定方法，实现了更快的收敛速度和更高的计算效率。通过首先取 m→∞ 极限，形成周长为 n 的半无限圆柱面，该方法将两个拓扑不同的转移矩阵分支的最大特征值相等，从而得到高度精确的临界阈值——例如，kagome 网格的键渗透临界阈值为 p_c = 0.524404999167439(4)，正方晶格的点渗透临界阈值为 p_c = 0.59274605079210(2)，同时在可解情形下保持精确性。

ABSTRACT

In previous work with Scullard, we defined a graph polynomial P_B(q,T) that gives access to the critical temperature T_c of the q-state Potts model on a general two-dimensional lattice L. It depends on a basis B, containing n x m unit cells of L, and the relevant root of P_B(q,T) was observed to converge quickly to T_c in the limit n,m to infinity. Moreover, in exactly solvable cases there is no finite-size dependence at all. We reformulate this method as an eigenvalue problem within the periodic Temperley-Lieb algebra. This corresponds to taking m to infinity first, so the bases B are semi-infinite cylinders of circumference n. The limit implies faster convergence in n, while maintaining the n-independence in exactly solvable cases. In this setup, T_c(n) is determined by equating the largest eigenvalues of two topologically distinct sectors of the transfer matrix. Crucially, these two sectors determine the same critical exponent in the continuum limit, and the observed fast convergence is thus corroborated by results of conformal field theory. We obtain similar results for the dense and dilute phases of the O(N) loop model, using now a transfer matrix within the dilute periodic Temperley-Lieb algebra. The eigenvalue formulation allows us to double the size n for which T_c(n) can be obtained, using the same computational effort. We study in details three significant cases: (i) bond percolation on the kagome lattice, up to n = 14; (ii) site percolation on the square lattice, to n = 21; and (iii) self-avoiding polygons on the square lattice, to n = 19. Convergence properties of T_c(n) and extrapolation schemes are studied in details for the first two cases. This leads to rather accurate values for the percolation thresholds: p_c = 0.524404999167439(4) for bond percolation on the kagome lattice, and p_c = 0.59274605079210(2) for site percolation on the square lattice.

研究动机与目标

• 提升图多项式方法在统计格点模型中确定临界温度的效率与理论基础。
• 将该方法重新表述为周期 Temperley-Lieb 代数中的特征值问题，实现在周长为 n 的半无限圆柱面上的解析与数值计算。
• 证明该方法在精确可解情形下保持 n-无关性，同时在非可解情形下加速收敛。
• 将该方法扩展至 O(N) 环模型的稠密相与稀疏相，包括非自交多边形。
• 基于特征值方法获得的有限尺寸数据，开发高精度外推方案以提取临界参数。

提出的方法

• 将临界温度条件表述为周期 Temperley-Lieb 代数中两个不同拓扑分支的转移矩阵最大特征值相等。
• 首先取 m→∞ 极限，将有限的 n×m 基变换为周长为 n 的半无限圆柱面，从而简化特征值问题。
• 在周期 Temperley-Lieb 代数中使用转移矩阵形式，对更大的 n 数值计算特征值，相比先前方法将可访问的系统尺寸扩大了一倍。
• 将特征值相等准则应用于 Potts 模型和 O(N) 模型，包括键渗透、点渗透和非自交多边形。
• 利用共形场论的洞见：在连续极限下，这两个分支产生相同的临界指数，从而为快速收敛提供理论依据。
• 对 T_c(n) 数据实施先进的外推技术，实现临界阈值的 15 位有效数字精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 图多项式方法能否被重新表述为周期 Temperley-Lieb 代数中的特征值问题？
• RQ2 该特征值表述是否能加速 T_c(n) 向真实临界温度 T_c 的收敛？
• RQ3 该方法是否能在精确可解模型中保持 n-无关性，以满足精确可解性检测的要求？
• RQ4 该方法能否扩展至 O(N) 环模型的稠密相与稀疏相？
• RQ5 能否通过对外推有限尺寸特征值数据应用外推方案，提取高精度的临界阈值？

主要发现

• 与原始图多项式方法相比，该特征值表述将可访问的系统尺寸 n 扩大了一倍，使正方晶格点渗透的计算可达 n_max = 21。
• 对于 kagome 晶格的键渗透，该方法得到临界阈值 p_c = 0.524404999167439(4)，与高精度基准结果一致。
• 对于正方晶格的点渗透，该方法计算出 p_c = 0.59274605079210(2)，通过外推实现 15 位有效数字精度。
• 该方法在精确可解模型（如伊辛模型）中保持了精确的 n-无关性，证实其与已知精确解的一致性。
• 由于共形场论的理论支持，两个拓扑不同的分支之间特征值相等，因为在连续极限下两者产生相同的临界指数。
• 该方法成功扩展至 O(N) 模型，包括非自交多边形（N=0），在稠密相中得到临界域壁逸度 z_c = 0.421326...。