[论文解读] Cross product in N Dimensions - the doublewedge product

Carlo Andrea Gonano, Riccardo E. Zich|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文引入了一种新型的N维叉积算子，记作双楔号符号（\(\land\land\)），作为三维叉积的推广。通过将力矩和旋转表示为反对称矩阵（二阶张量），解决了赝向量和手性依赖性的问题，提供了一个一致且与坐标无关的框架，自然地扩展至高维的旋度和电磁理论。

ABSTRACT

The cross product frequently occurs in Physics and Engineering, since it has large applications in many contexts, e.g. for calculating angular momenta, torques, rotations, volumes etc. Though this mathematical operator is widely used, it is commonly expressed in a 3-D notation which gives rise to many paradoxes and difficulties. In fact, instead of other vector operators like scalar product, the cross product is defined just in 3-D space, it does not respect reflection rules and invokes the concept of "handedness". In this paper we are going to present an extension of cross product in an arbitrary number N of spatial Dimensions, different from the one adopted in the Exterior Algebra and explicitly designed for an easy calculus of moments.

研究动机与目标

• 解决三维叉积的根本局限性，包括对手性依赖和非反射不变性的依赖。
• 消除三维向量微积分中因赝向量而产生的概念与计算困难。
• 为学生和从业者开发一种一致且用户友好的N维叉积形式体系。
• 表明力矩和旋转向量更自然地表示为反对称矩阵（二阶张量），而非赝向量。
• 使用相同的双楔形式体系将旋度算子推广至N维，保持微分性质。

提出的方法

• 提出一种使用双楔号符号（\(\land\land\)）表示的新型N维叉积算子，用于表示广义向量积。
• 将双楔积定义为外积（楔积）的Hodge对偶，确保结果在N维中为一个双矢量（反对称二阶张量）。
• 使用恒等式 \(\vec{p} = \vec{a} \land\land \vec{b} = \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial \vec{x}} \right) - \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial \vec{x}} \right)^T\) 表示N维旋度，推广三维旋度。
• 将该形式体系应用于物理量如力矩、角动量和磁场，表明它们自然地表现为二阶张量。
• 证明磁场B在N维中并非向量，而是一个二阶张量（双矢量），与N维电磁学一致。
• 通过与已知恒等式（如向量三重积和数量四重积）的一致性检验验证该形式体系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖赝向量的前提下，一致地将三维叉积推广至N维？
• RQ2 为什么三维叉积在反射下失效，其手性依赖性的根本原因是什么？
• RQ3 力矩和旋转向量是否可以更自然地表示为反对称矩阵而非赝向量？
• RQ4 使用该新形式体系，旋度算子如何推广至N维？
• RQ5 磁场的正确N维表示是什么？它与矢势及麦克斯韦方程组有何关系？

主要发现

• 双楔积 \(\vec{a} \land\land \vec{b}\) 在N维中产生一个二阶张量（反对称矩阵），解决了三维叉积中赝向量悖论的问题。
• 三维叉积被证明是双楔积的一个特例，其结果为双矢量而非赝向量。
• N维旋度定义为 \(\vec{\nabla} \land\land \vec{v} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial \vec{x}} - \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial \vec{x}} \right)^T\)，该定义推广了三维旋度并保持了反对称性。
• 在N维中，磁场B被证明是一个二阶张量（双矢量），而非向量，这与它在反射和旋转下的行为一致。
• 该形式体系消除了符号混淆，减少了对记忆复杂向量恒等式（如三重积展开）的需求。
• 该方法为力矩和旋转提供了统一且与坐标无关的框架，提升了高维力学与电磁学中清晰度与计算效率。