[论文解读] Crossed product of Hopf algebras

A. L. Agore|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文引入并表征了霍普夫代数的交叉积作为一种霍普夫代数构造，该构造推广了群交叉积和 smash 积。它建立了霍普夫代数同构于此类交叉积的充要条件：通过一个正规霍普夫子代数和一个包含单位的子余代数进行分解。主要贡献在于通过分量映射，完全分类了交叉积上的共拟三角（辫子）结构，并通过 $H_4 \#_f^\triangleright k[C_3]$ 的显式计算加以说明。该构造为理解霍普夫代数理论中的分解与辫子张量结构提供了通用框架。

ABSTRACT

The main properties of the crossed product in the category of Hopf algebras are investigated. Let $A$ and $H$ be two Hopf algebras connected by two morphism of coalgebras $ riangleright : H\ot A o A$, $f:H\ot H o A$. The crossed product $A #_{f}^{ riangleright} H$ is a new Hopf algebra containing $A$ as a normal Hopf subalgebra. Furthermore, a Hopf algebra $E$ is isomorphic as a Hopf algebra to a crossed product of Hopf algebras $A #_{f}^{ riangleright} H$ if and only if $E$ factorizes through a normal Hopf subalgebra $A$ and a subcoalgebra $H$ such that $1_{E} \in H$. The universality of the construction, the existence of integrals, commutativity or involutivity of the crossed product are studied. Looking at the quantum side of the construction we shall give necessary and sufficient conditions for a crossed product to be a coquasitriangular Hopf algebra. In particular, all braided structures on the monoidal category of $A #_{f}^{ riangleright} H$-comodules are explicitly described in terms of their components. As an example, the braidings on a crossed product between $H_{4}$ and $k[C_{3}]$ are described in detail.

研究动机与目标

• 正式化并研究霍普夫代数范畴中的交叉积构造，推广群积和 smash 积构造。
• 建立霍普夫代数同构于两个霍普夫代数交叉积的充要条件。
• 研究交叉积的结构性质，如积分、半单性、交换性及对合性。
• 通过分量映射，对交叉积上的共拟三角（辫子）结构提供完全分类。
• 通过详细例子说明理论：Sweedler 的霍普夫代数 $H_4$ 与群代数 $k[C_3]$ 之间的交叉积。

提出的方法

• 通过兼容的作用 $\triangleright: H \otimes A \to A$ 和一个余代数同态的上循环 $f: H \otimes H \to A$，定义两个霍普夫代数 $A$ 和 $H$ 的交叉积 $A\#_f^\triangleright H$。
• 使用文献 [1] 中的统一积构造，在 $A \#_f^\triangleright H$ 上定义代数与余代数结构，其中乘法与共乘法由涉及 $\triangleright$ 和 $f$ 的显式公式给出。
• 证明当作用与上循环满足两个相容条件时，交叉积继承霍普夫代数结构，从而保证反元素的存在。
• 建立一个普遍性质：霍普夫代数 $E$ 同构于交叉积 $A\#_f^\triangleright H$ 当且仅当 $E$ 可分解为 $E = A \cdot H$，其中 $A$ 是一个正规霍普夫子代数且 $1_E \in H$。
• 通过一组分量映射表征 $A\#_f^\triangleright H$ 上的共拟三角结构：$A$ 上的辫子结构 $p$，斜对映射 $u$ 和 $v$，以及 $H$ 上的辫子 $\tau$，满足相容性条件 (25)–(31)。
• 显式构造 $A\#_f^\triangleright H$ 上的辫子 $\sigma$ 为 $\sigma(b \otimes y, c \otimes z) = u(b_{(1)}, z_{(1)}) p(b_{(2)}, c_{(1)}) \tau(y_{(1)}, z_{(2)}) v(y_{(2)}, c_{(2)})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，霍普夫代数同构于两个霍普夫代数的交叉积？
• RQ2 霍普夫代数交叉积成为共拟三角（即具有辫子结构）的必要且充分条件是什么？
• RQ3 如何显式描述在交叉积 $A\#_f^\triangleright H$ 的余模范畴上的所有辫子结构？
• RQ4 交叉积的结构性质（如半单性、积分、交换性）是什么？它们如何依赖于分量 $A$、$H$、$\triangleright$ 和 $f$？
• RQ5 交叉积构造能否用于实现特定霍普夫代数，如量子威格纳代数或 $H_4 \#_f^\triangleright k[C_3]$？

主要发现

• 霍普夫代数 $E$ 同构于交叉积 $A\#_f^\triangleright H$ 当且仅当 $E$ 可分解为 $E = A \cdot H$，其中 $A$ 是一个正规霍普夫子代数且 $1_E \in H$，从而对这类分解提供了完全表征。
• 交叉积 $A\#_f^\triangleright H$ 是交换的当且仅当作用 $\triangleright$ 和上循环 $f$ 满足特定对称条件，包括 $f(h,k) = f(k,h)$ 以及 $h \triangleright a = a \triangleright h$ 的广义形式。
• 交叉积 $A\#_f^\triangleright H$ 是半单的当且仅当 $A$ 和 $H$ 都是半单的，且乘积上的右积分可通过 $A$ 和 $H$ 上的积分构造而成。
• 所有 $A\#_f^\triangleright H$-余模上的共拟三角结构均通过分量映射显式分类：$A$ 上的辫子结构 $p$，斜对映射 $u$、$v$，以及 $H$ 上的辫子 $\tau$，满足相容性条件 (25)–(31)。
• 对于具体例子 $H_4 \#_f^\triangleright k[C_3]$，本文构造了一族由 $\alpha \in k$ 和 $\gamma \in k$（满足 $\gamma^3 = 1$）参数化的辫子，并给出了 $\sigma$ 的完整 $12 \times 12$ 结构常数矩阵。