[论文解读] Crossed products by Hecke pairs I: *-algebraic theory

Rui Palma|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对Hecke对 (G,Γ) 的 ∗-代数框架，推广了当 G/Γ 不构成群时的群交叉积。通过在轨道广群上构造Fell丛，建立了 ∗-代数交叉积，并基于Hecke代数的预表示定义了协变表示理论，当 Γ ⊴ G 时可恢复经典交叉积，并将已知的 C∗-结果推广至 ∗-代数层面。

ABSTRACT

We develop a theory of crossed products by "actions" of Hecke pairs $(G, Γ)$, motivated by applications in non-abelian $C^*$-duality. Our approach gives back the usual crossed product construction whenever $G / Γ$ is a group and retains many of the aspects of crossed products by groups. In this first of two articles we lay the $^*$-algebraic foundations of these crossed products by Hecke pairs and we explore their representation theory.

研究动机与目标

• 开发针对 Hecke 对 (G,Γ) 的 ∗-代数交叉积理论，推广当 G/Γ 不构成群时的经典交叉积。
• 确保当 Γ 在 G 中正规时，该构造能恢复标准交叉积。
• 定义一个自然的生成集与协变表示，使其与 Hecke 代数的预表示相容。
• 为 C∗-完备化及非交换 C∗-对偶性中的应用提供基础。
• 将群交叉积的表示理论扩展至 Hecke 对情形，利用 Hecke 代数的预表示。

提出的方法

• 在 G 作用于离散广群 X 时，于轨道空间 X/Γ 上构造Fell丛，且在确保 X/Γ 为广群的条件下进行。
• 将 ∗-代数交叉积定义为 $ C_c(\mathcal{A}/\Gamma) \times^{\text{alg}}_{\alpha} G/\Gamma $，利用轨道上的卷积与对合运算。
• 通过一对 (π, μ) 定义协变预-∗-表示，其中 π 是 $ C_c(\mathcal{A}/\Gamma) $ 的 ∗-表示，μ 是 Hecke 代数 $ \mathcal{H}(G,\Gamma) $ 的单位元预-∗-表示。
• 建立非退化 ∗-表示与协变预-∗-表示之间的双射对应关系。
• 利用轨道分解与广群作用，推导出交叉积中乘积的显式公式，通过群指标计算证明系数恒等式。
• 证明 Hecke 代数 $ \mathcal{H}(G,\Gamma) $ 自然地嵌入到交叉积的乘子代数中，推广了群的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 G/Γ 不构成群时，能否为 Hecke 对 (G,Γ) 定义有意义的交叉积构造，以推广经典群交叉积？
• RQ2 在 G/Γ 上无群结构的情况下，如何表征 Hecke 对情形下的协变表示？
• RQ3 Hecke 代数 $ \mathcal{H}(G,\Gamma) $ 在交叉积的表示理论中起什么作用？
• RQ4 交叉积的自然生成元在卷积下的行为如何？其结构受何种恒等式支配？
• RQ5 在何种条件下，当 Γ ⊴ G 时，该构造能恢复经典交叉积？

主要发现

• 交叉积 $ C_c(\mathcal{A}/\Gamma) \times^{\text{alg}}_{\alpha} G/\Gamma $ 拥有一个自然的生成元集合，其形式类似于群交叉积中的 $ a*g $。
• Hecke 代数 $ \mathcal{H}(G,\Gamma) $ 自然地嵌入到交叉积的乘子代数中，在此扮演经典情形下群代数的角色。
• 非退化 ∗-表示与形如 (π, μ) 的协变预-∗-表示之间存在双射对应关系，其中 μ 是 $ \mathcal{H}(G,\Gamma) $ 的预-∗-表示。
• 乘积 $ \Gamma g\Gamma * [a]_{x\Gamma} * \Gamma s\Gamma $ 通过轨道分解显式计算得出，其系数满足 $ \frac{\#\mathcal{O}_{u,v} \Delta(g) N_{u^{-1},v}^{y}}{L(u^{-1}v)} = 1 $，确保一致性。
• 当 G 在 X 上的作用自由时，协变性条件简化为包含 $ \pi(\alpha_{u^{-1}}(a))_{xu\Gamma} $、$ \mu(\Gamma u^{-1}v\Gamma) $ 与 $ \widetilde{\pi}(1_{\mathbf{s}(x)v\Gamma}) $ 的具体公式，从而证明其与表示条件等价。
• 当 Γ 在 G 中正规时，该构造恢复经典交叉积，并在交换 C∗-代数情形下与 Laca-Larsen-Neshveyev 的 C∗-构造一致。