[论文解读] Curvature integral estimates for complete hypersurfaces

Hilário Alencar, Walcy Santos+1 more|ArXiv.org|Mar 11, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过分析 $ r $-平均曲率 $ S_r $，建立了空间形式中完备超曲面的曲率积分估计，证明了在 $ S_{r+1} $ 非负且恒为零的条件下，积分 $ \int_M S_r \, dM $ 发散至无穷大。关键结果将体积增长估计推广至高阶曲率积分，推广了欧氏空间及空间形式几何中关于极小曲面与常平均曲率超曲面的经典结果。

ABSTRACT

We consider the integrals of $r$-mean curvatures $S_r$ of a complete hypersurface $M$ in space forms $\mathcal{Q}_c^{n+1}$ which generalize volume $(r=0)$, total mean curvature $(r=1)$, total scalar curvature $(r=2)$ and total curvature $(r=n)$. Among other results we prove that a complete properly immersed hypersurface of a space form with $S_r\geq 0$, $S_r ot\equiv 0$ and $S_{r+1}\equiv 0$ for some $r\le n-1$ has $\int_MS_rdM=\infty.$

研究动机与目标

• 将极小曲面与常平均曲率超曲面的体积增长估计推广至高阶曲率积分。
• 研究完备且恰当浸入的超曲面在空间形式 $ \mathcal{Q}_c^{n+1} $ 中的 $ \int_M S_r \, dM $ 的有限性或无穷性。
• 建立 $ \int_M S_r \, dM = \infty $ 的条件，特别是当 $ S_r \geq 0 $，$ S_r \not\equiv 0 $，且 $ S_{r+1} \equiv 0 $ 时。
• 通过涉及牛顿变换与距离函数估计的几何与分析方法，将 Cohn-Vossen 等人关于极小曲面的结果推广至高阶曲率泛函。

提出的方法

• 利用第 $ r $ 个牛顿变换 $ P_r $ 及涉及 $ S_r $ 与 $ S_{r+1} $ 的曲率估计，推导出积分的下界。
• 通过距离函数 $ \rho $ 与 $ M $ 上的内在度量应用比较几何，利用 $ |\text{grad}_M \rho| \leq 1 $ 控制体积元。
• 利用涉及 $ s_\kappa(\tau) $ 的微分不等式，即空间形式中曲率 $ c = \kappa^2 $ 的体积增长函数，推导出 $ \int_{B_\mu(q)} S_r \, dM $ 的指数下界。
• 推导出关键估计：$ \int_{\overline{B}_\mu(q) \cap M} S_r \, dM \geq \int_{\mu_0}^\mu C e^{-\alpha \tau} \, d\tau $，该式在 $ c \leq 0 $ 时成立，且当 $ c > 0 $ 时要求 $ \mu \leq \pi/(2\kappa) $。
• 应用覆盖论证与 Topping（2006）的引理，将平均曲率积分与体积增长关联，证明在多项式体积增长界下有 $ \int_M |H|^{m-1} \, dM = \infty $。
• 利用高斯-博内关系与渐近体积增长，推导出在总曲率与欧拉示性数之间满足特定条件时，表面的平均曲率积分为无穷大。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，空间形式中完备且恰当浸入的超曲面的 $ r $-平均曲率积分 $ \int_M S_r \, dM $ 发散？
• RQ2 能否将极小超曲面的经典体积增长结果推广至高阶曲率积分 $ S_r $，其中 $ r \geq 2 $？
• RQ3 当 $ S_r \geq 0 $ 且不恒为零时，$ S_{r+1} $ 的零化在决定 $ \int_M S_r \, dM $ 发散性方面起何作用？
• RQ4 牛顿变换 $ P_r $ 与曲率夹紧条件 $ (r+1)|S_{r+1}| \leq (n-r)\alpha S_r $ 如何影响 $ r $-面积积分的增长？
• RQ5 能否基于体积增长约束，为欧氏空间中的完备子流形导出平均曲率积分估计？

主要发现

• 若对某个 $ r \leq n-1 $，有 $ S_r \geq 0 $，$ S_r \not\equiv 0 $，且 $ S_{r+1} \equiv 0 $，则在 $ c \leq 0 $ 的空间形式中，必有 $ \int_M S_r \, dM = \infty $。
• 当 $ c > 0 $ 时，若额外满足 $ \mu \leq \pi/(2\kappa) $，则结论仍成立，该条件确保距离函数位于凸区域。
• 积分 $ \int_{B_\mu(q) \cap M} S_r \, dM $ 的增长速度至少与 $ \int_{\mu_0}^\mu C e^{-\alpha \tau} \, d\tau $ 相当，表明在曲率夹紧条件下其增长无界。
• 对于 $ \mathbb{R}^n $ 中的完备 $ m $-维子流形，若 $ \limsup_{r \to \infty} V(x,r)/r^m < \delta $，则 $ \int_M |H|^{m-1} \, dM = \infty $，其中 $ \delta > 0 $ 依赖于 $ m $。
• 对于 $ \mathbb{R}^n $ 中的完备曲面，若 $ 2\pi\chi(M) - \int_M K \, dM < 2\delta $，则 $ \int_M |H| \, dM = \infty $，表明该条件是紧的。
• 该结果推广了 Cohn-Vossen 定理：尽管有限总曲率蕴含 $ \int_M K \, dM < \infty $，但类似拓扑约束下 $ \int_M H \, dM $ 的有限性不成立。