[论文解读] Cycles of Quadratic Polynomials and Rational Points on a Genus-Two Curve

E. V. Flynn, Bjorn Poonen+1 more|ArXiv.org|Aug 4, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文证明了在ℚ上不存在二次多项式周期为5的有理周期点，扩展了Morton对周期4的结果。通过研究与周期5循环相关的亏格14曲线，作者利用2-下降法和Chabauty–Coleman方法计算了其亏格2商曲线上的有理点，建立了一个计算高亏格超椭圆曲线上有理点的计算模型，并证明了对无穷多个N存在Galois-稳定循环，同时确认了该曲线的非模形式性。

ABSTRACT

It has been conjectured that for $N$ sufficiently large, there are no quadratic polynomials in $\bold Q[z]$ with rational periodic points of period $N$. Morton proved there were none with $N=4$, by showing that the genus~$2$ algebraic curve that classifies periodic points of period~4 is birational to $X_1(16)$, whose rational points had been previously computed. We prove there are none with $N=5$. Here the relevant curve has genus~$14$, but it has a genus~$2$ quotient, whose rational points we compute by performing a~$2$-descent on its Jacobian and applying a refinement of the method of Chabauty and Coleman. We hope that our computation will serve as a model for others who need to compute rational points on hyperelliptic curves. We also describe the three possible Gal$_{\bold Q}$-stable $5$-cycles, and show that there exist Gal$_{\bold Q}$-stable $N$-cycles for infinitely many $N$. Furthermore, we answer a question of Morton by showing that the genus~$14$ curve and its quotient are not modular. Finally, we mention some partial results for $N=6$.

研究动机与目标

• 为解决一个猜想：对于足够大的N，ℚ上的二次多项式不存在周期为N的有理周期点，通过证明N=5的情形。
• 计算由二次多项式周期5循环所导出的高亏格超椭圆曲线（亏格14）上的有理点。
• 开发并展示一种利用2-下降法和改进的Chabauty–Coleman技术计算超椭圆曲线上有理点的计算框架。
• 研究Galois-稳定周期循环的结构，并确定此类循环是否对无穷多个N存在。
• 解决Morton关于亏格14曲线及其商曲线的模形式性问题，证明其非模形式。

提出的方法

• 作者构建了分类ℚ[z]中二次多项式周期为5的有理周期点的代数曲线，该曲线的亏格为14。
• 他们识别出该曲线的一个亏格2商曲线，该商曲线更易于进行有理点计算。
• 对亏格2商曲线的雅芬（Jacobian）执行2-下降法，以界定Mordell-Weil秩。
• 应用改进的Chabauty–Coleman方法，通过p进积分计算亏格2商曲线上所有有理点的完整集合。
• 将商曲线上的有理点回传至原始的亏格14曲线，以分析周期5循环的结构。
• 通过群论分析曲线的自同构群和Galois表示，研究Galois作用在循环上的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有理数上，是否存在二次多项式周期为5的有理周期点？
• RQ2 能否利用下降法和p进方法有效计算亏格14的超椭圆曲线上有理点？
• RQ3 对无穷多个N，是否存在Galois-稳定的周期N循环？
• RQ4 亏格14曲线或其亏格2商曲线是否为模形式？
• RQ5 在有理二次映射的背景下，可能的Galois-稳定5-循环有哪些？

主要发现

• 在ℚ上，二次多项式不存在周期为5的有理周期点，证实了N=5情形下的猜想。
• 利用2-下降法和Chabauty–Coleman方法，完全计算出了周期5曲线的亏格2商曲线上有理点的集合。
• 作者对Gal(ℚ̄/ℚ)作用下可能的三种Galois-稳定5-循环进行了详细分类。
• 证明了对无穷多个N存在Galois-稳定N-循环，扩展了已知的例子。
• 亏格14曲线及其亏格2商曲线均非模形式，回答了Morton提出的问题。
• 对N=6获得了部分结果，但完整分类仍为开放问题。