[论文解读] Cyclic bent functions and their applications in codes, codebooks, designs, MUBs and sequences

Cunsheng Ding, Sihem Mesnager+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文提出了在 $\mathbb{F}_{2^{m-1}} \times \mathbb{F}_2$ 上的循环 bent 函数，并提出了一种通用构造方法，统一了已知的各类函数，包括来自 Kerdock 码和 Zhou 等人的构造。该方法被用于构建最优码书、互为 unbiased 的基（MUBs）以及渐近最优的序列族，同时推广了 Kerdock 码，并刻画了二次循环半 bent 函数。

ABSTRACT

Let $m$ be an even positive integer. A Boolean bent function $f$ on $\GF{m-1} imes \GF {}$ is called a \emph{cyclic bent function} if for any $a eq b\in \GF {m-1}$ and $ε\in \GF{}$, $f(ax_1,x_2)+f(bx_1,x_2+ε)$ is always bent, where $x_1\in \GF {m-1}, x_2 \in \GF {}$. Cyclic bent functions look extremely rare. This paper focuses on cyclic bent functions on $\GF {m-1} imes \GF {}$ and their applications. The first objective of this paper is to construct a new class of cyclic bent functions, which includes all known constructions of cyclic bent functions as special cases. The second objective is to use cyclic bent functions to construct good mutually unbiased bases (MUBs), codebooks and sequence families. The third objective is to study cyclic semi-bent functions and their applications. The fourth objective is to present a family of binary codes containing the Kerdock code as a special case, and describe their support designs. The results of this paper show that cyclic bent functions and cyclic semi-bent functions have nice applications in several fields such as symmetric cryptography, quantum physics, compressed sensing and CDMA communication.

研究动机与目标

• 提出并形式化 $\mathbb{F}_{2^{m-1}} \times \mathbb{F}_2$ 上循环 bent 函数的概念，这是一类具有强结构对称性的稀有布尔函数。
• 开发一种通用构造方法，将所有已知的循环 bent 函数作为特例包含在内，从而实现新实例的系统化生成。
• 将循环 bent 函数应用于构建最优或渐近最优的码书、MUBs 和序列族，使其满足或逼近如 Levenshtein 和 Welch 界等基本界限。
• 利用循环 bent 函数推广 Kerdock 码，并从其支撑结构中推导出新的 $3$-设计。
• 刻画二次循环半 bent 函数，并构造具有指定参数和重量分布的新二元码。

提出的方法

• 通过定义在 $\mathbb{F}_{2^{m-1}} \times \mathbb{F}_2$ 上的一类函数 $f(x_1,x_2)$，提出一种利用循环 bent 函数的通用构造方法，确保对所有 $a \neq b$ 和 $\epsilon \in \mathbb{F}_2$，$f(ax_1,x_2) + f(bx_1,x_2+\epsilon)$ 的 bent 性质成立。
• 利用 Walsh 变换和迹函数验证 bent 性质，特别利用绝对迹 $\mathrm{Tr}^{m-1}_1$ 和有限域上的二次型。
• 从循环 bent 函数构造实数和复数码书：$2^{2^{m-1}-1}$ 个大小为 $(2^{2m-1}+2^m, 2^m)$ 的实值码书，以及一个大小为 $(2^{2(m-1)}+2^{m-1}, 2^{m-1})$ 的复数码书，该码书满足 Levenshtein 界。
• 通过循环 bent 和半 bent 函数生成四元和二元序列族，实现最大相关性接近 Welch 界。
• 利用从函数线性部分导出的特定多项式的最大公因式，刻画二次循环半 bent 函数。
• 利用循环 bent 函数构造广义 Kerdock 码，表明其与原始 Kerdock 码具有相同的参数和重量分布，并从其支撑中推导出新的 $3$-设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以提出一种通用构造方法，统一已知的循环 bent 函数，如来自 Kerdock 码和 Zhou 等人的构造？
• RQ2 是否可以利用循环 bent 函数构建满足 Levenshtein 界的最优或渐近最优码书？
• RQ3 是否可以利用循环 bent 函数在 $\mathbb{C}^{2^{m-1}}$ 中构造完整的互为 unbiased 的基（MUBs）集合？
• RQ4 是否可以系统地从循环 bent 和半 bent 函数构造出最大相关性较低（接近 Welch 界）的序列族？
• RQ5 二次循环半 bent 函数的刻画是什么？它们是否可用于构建具有已知重量分布的新二元码？

主要发现

• 提出了一种通用的循环 bent 函数构造方法，其将 Kerdock 函数和 Zhou 等人的构造作为特例包含在内，统一了已知的函数族。
• 本文构造了 $2^{2^{m-1}-1}$ 个大小为 $(2^{2m-1}+2^m, 2^m)$、字母表大小为 4 的实值码书，且满足实数码书的 Levenshtein 界。
• 构造了一个大小为 $(2^{2(m-1)}+2^{m-1}, 2^{m-1})$、字母表大小为 6 的最优复数码书，满足复数码书的 Levenshtein 界。
• 对于偶数 $m$，从一个循环 bent 函数构造出 $\mathbb{C}^{2^{m-1}}$ 中完整的 $2^{m-1}$ 个互为 unbiased 的基（MUBs）集合。
• 构造了周期为 $2^{m-1}-1$、大小为 $2^{m-1}+1$、最大相关性 $\leq 1 + \sqrt{2^{m-1}}$ 的四元序列族，其接近 Welch 界。
• 利用循环 bent 函数构造了周期为 $2(2^{m-1}-1)$、大小为 $2^{m-1}$、最大非平凡相关性为 $2^{m/2}+2$ 的二元序列族，具有渐近最优性。
• 利用循环半 bent 函数构造了一类新二元码，参数为 $(2^n, 2^{2n+1}, 2^{n-1} - 2^{(n-1)/2})$，其中 $n$ 为奇数。
• 通过两个关于关联多项式的 GCD 条件，给出了二次循环半 bent 函数的完整刻画，从而实现系统的构造。
• 从循环 bent 函数导出的广义 Kerdock 码与原始 Kerdock 码具有相同的参数和重量分布，并从其支撑中生成了新的 $3$-设计。