[论文解读] Cyclic operads and homology of graph complexes

Martin Markl|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 15

一句话总结

本文引入了与循环操作代数相关的图复形同调中的一个普遍上同调类，统一了 Kontsevich 对 $A_\infty$-代数不变量的构造，并将其推广至任意循环操作代数。通过操作代数与理论（k-线性 PROPs）之间的对偶性，作者构造了一个典范循环，其在具体循环代数上的特化可给出不变量，推广了状态和模型并阐明了循环同调中无穷小形变的作用。

ABSTRACT

We will consider P-graph complexes, where P is a cyclic operad. P-graph complexes are natural generalizations of Kontsevich's graph complexes -- for P = the operad for associative algebras it is the complex of ribbon graphs, for P = the operad for commutative associative algebras, the complex of all graphs. We construct a `universal class' in the cohomology of the graph complex with coefficients in a theory. The Kontsevich-type invariant is then an evaluation, on a concrete cyclic algebra, of this class. We also explain some results of M. Penkava and A. Schwarz on the construction of an invariant from a cyclic deformation of a cyclic algebra. Our constructions are illustrated by a `toy model' of tree complexes.

研究动机与目标

• 为基于循环 $A_\infty$-代数构造的 Kontsevich 类型不变量提供一个概念性、普遍的框架。
• 将图复形的构造从结合代数和交换代数推广至任意循环操作代数。
• 阐明循环代数的无穷小形变在生成上同调类中的作用。
• 通过图复形同调中的普遍类统一状态和不变量。

提出的方法

• 从循环操作代数 $\mathcal{P}$ 构造图复形 $\mathcal{G}^\mathcal{P}_*$，推广 Kontsevich 的叶状图复形。
• 利用 $\mathcal{P}$ 与其对偶理论 $\mathbf{T}$ 之间的对偶性，在图复形的同调中引入一个普遍循环。
• 使用模操作代数的费曼变换来建模图复形，将构造扩展至循环与模情形。
• 采用类似状态和的构造方式，其中普遍类由来自 $\mathcal{P}$ 的着色与来自对偶理论 $\mathbf{T}$ 的系数组合而成。
• 使用余框构造 $\Omega(\mathcal{P}^\star)$ 来描述对偶余操作代数上的代数，从而研究形变。
• 通过一个标量积 $h$ 及其逆 $\nu$ 定义循环代数，确保在输入的循环置换下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kontsevich 对 $A_\infty$-代数不变量的构造如何推广至任意循环操作代数？
• RQ2 能生成所有此类不变量的普遍上同调类是什么？
• RQ3 循环代数的无穷小形变如何与图复形中的上同调类相关联？
• RQ4 操作代数与理论（k-线性 PROPs）之间的对偶性在构造这些不变量中起什么作用？
• RQ5 该构造能否通过费曼变换推广至模操作代数？

主要发现

• 在任意循环操作代数 $\mathcal{P}$ 关联的图复形中存在一个普遍上同调类，其通过特化可生成所有不变量。
• 该普遍类被构造为对偶对的和：来自 $\mathcal{P}$ 的着色与来自对偶理论 $\mathbf{T}$ 的系数，类似于 $V^\star \otimes V$ 中的典范元素。
• 对于 Koszul 操作代数，可通过巴尔构造与余框构造的对偶性显式描述普遍循环。
• 在 Koszul 循环操作代数上，循环代数的无穷小形变恰好对应于模 $t^2$ 的理论映射，从而可对普遍类进行评估。
• 该构造解释了 Penkava 与 Schwarz 的不变量为普遍类在循环代数情形下的特化。
• 循环代数的理论并非操作代数上的代数结构，而是自然地描述为 $\mathbf{k}$-线性 PROP 上的代数范畴，该范畴被用于定义对偶系数系统。