[论文解读] Cyclic p-roots of prime lengths p and related complex Hadamard matrices

Uffe Haagerup|ArXiv.org|Mar 18, 2008

graph theory and CDMA systems参考文献 9被引用 30

一句话总结

本文证明了对于每个素数 $ p $，在 $ \mathbb{C}^p $ 中，按重数计数的循环 $ p $-根的数量恰好为 $ \binom{2p-2}{p-1} $。该结果通过循环 $ p $-根与涉及傅里叶变换和乘法逆元的方程组解之间的一一对应关系建立，利用复分析与代数几何中的工具，包括切比察列夫定理和全纯映射的重数理论。

ABSTRACT

In this paper it is proved, that for every prime number p, the set of cyclic p-roots in C^p is finite. Moreover the number of cyclic p-roots counted with multiplicity is equal to (2p-2)!/(p-1)!^2. In particular, the number of complex circulant Hadamard matrices of size p, with diagonal entries equal to 1, is less or equal to (2p-2)!/(p-1)!^2.

研究动机与目标

• 解决拉尔夫·弗罗伯格提出的猜想：对于素数 $ p $，按重数计数的循环 $ p $-根数量等于 $ \binom{2p-2}{p-1} $。
• 在循环 $ p $-根与涉及傅里叶变换和乘法逆元的 $ 2p-2 $ 个方程组的解之间建立一一对应关系。
• 利用傅里叶矩阵子矩阵的非奇异性的切比察列夫定理，证明对于素数 $ p $，循环 $ p $-根的有限性。
• 应用正规全纯映射的重数理论来计算带重数的解的数量，将问题简化为线性代数计算。
• 证明大小为 $ p $、对角线元素为 1 的复循环 Hadamard 矩阵的数量最多为 $ \binom{2p-2}{p-1} $。

提出的方法

• 在满足 $ x_0 = y_0 = 1 $ 的 $ x, y \in \mathbb{C}^p $ 的条件下，建立循环 $ p $-根与方程组 $ x_j y_j = 1 $，$ \hat{x}_j \hat{y}_{-j} = 1 $（$ 1 \leq j \leq p-1 $）的解之间的一一对应关系。
• 利用切比察列夫于 1926 年证明的定理，说明当 $ p $ 为素数时，$ p \times p $ 傅里叶矩阵的所有方子矩阵均为非奇异，从而保证解集是有限的。
• 应用正规全纯映射孤立零点重数理论，将带重数的解的数量等同于线性化系统解的数量。
• 将计数问题约化为求解线性方程组 $ x_j y_j = 0 $，$ \hat{x}_j \hat{y}_{-j} = 0 $，该方程组恰好有 $ \binom{2p-2}{p-1} $ 个解，每个解的重数为 1。
• 证明从基于傅里叶的系统到原始循环 $ p $-根系统的变换过程中，解的重数保持不变，从而确保计数结果有效。
• 通过仿射变换和全纯映射在子簇上的限制，证明受限映射 $ \sigma_E $ 的重数为 $ \binom{2k}{k} $，从而将计数结果推广至索引子集。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于素数 $ p $，按重数计数的循环 $ p $-根数量是否等于 $ \binom{2p-2}{p-1} $？
• RQ2 对于素数 $ p $，循环 $ p $-根的有限性是否源于傅里叶矩阵子矩阵的非奇异性质？
• RQ3 能否通过方程组的线性化版本计算循环 $ p $-根系统解的重数？
• RQ4 是否存在循环 $ p $-根与傅里叶反演系统 $ x_j y_j = 1 $，$ \hat{x}_j \hat{y}_{-j} = 1 $ 的解之间的一一对应关系？
• RQ5 大小为 $ p $、对角线元素为 1 的复循环 Hadamard 矩阵的最大数量是多少？它与循环 $ p $-根的数量有何关系？

主要发现

• 对于每个素数 $ p $，在 $ \mathbb{C}^p $ 中按重数计数的循环 $ p $-根数量恰好为 $ \binom{2p-2}{p-1} $，从而证实了弗罗伯格的猜想。
• 对于所有素数 $ p $，循环 $ p $-根的集合是有限的，该结果源于切比察列夫关于傅里叶矩阵子矩阵非奇异性的定理。
• 大小为 $ p $、对角线元素为 1 的复循环 Hadamard 矩阵的数量最多为 $ \binom{2p-2}{p-1} $，这是由于其与循环 $ p $-根之间存在一一对应关系。
• 循环 $ p $-根系统解的重数在变换到基于傅里叶的系统时保持不变，从而实现了基于线性代数的计数。
• 方程组 $ x_j y_j = 0 $，$ \hat{x}_j \hat{y}_{-j} = 0 $ 恰好有 $ \binom{2p-2}{p-1} $ 个解，且所有解的重数均为 1，该结果构成了关键的计数机制。
• 对于大小为 $ k $ 的索引子集，按重数计数的简单指标为 $ k $ 的循环 $ p $-根数量为 $ \binom{2k}{k} $，从而将主结果推广至更一般情形。