[论文解读] Data-Driven Filtered Reduced Order Modeling Of Fluid Flows

Xuping Xie, Muhammad Mohebujjaman+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 43被引用 8

一句话总结

本文提出了一种数据驱动的滤波型降阶模型（DDF-ROM），用于流体流动模拟。该方法结合空间滤波与数据驱动建模，通过在标准投影型降阶模型（ROM）基础上分离解析模态与未解析模态，并利用优化方法确定数据驱动的系数，从而实现对系统方程的闭合。DDF-ROM在模态数量较少时显著提升了精度，同时保持了与标准ROM相当的计算效率。

ABSTRACT

We propose a data-driven filtered reduced order model (DDF-ROM) framework for the numerical simulation of fluid flows. The novel DDF-ROM framework consists of two steps: (i) In the first step, we use explicit ROM spatial filtering of the nonlinear PDE to construct a filtered ROM. This filtered ROM is low-dimensional, but is not closed (because of the nonlinearity in the given PDE). (ii) In the second step, we use data-driven modeling to close the filtered ROM, i.e., to model the interaction between the resolved and unresolved modes. To this end, we use a quadratic ansatz to model this interaction and close the filtered ROM. To find the new coefficients in the closed filtered ROM, we solve an optimization problem that minimizes the difference between the full order model data and our ansatz. We emphasize that the new DDF-ROM is built on general ideas of spatial filtering and optimization and is independent of (restrictive) phenomenological arguments. We investigate the DDF-ROM in the numerical simulation of a 2D channel flow past a circular cylinder at Reynolds number $Re=100$. The DDF-ROM is significantly more accurate than the standard projection ROM. Furthermore, the computational costs of the DDF-ROM and the standard projection ROM are similar, both costs being orders of magnitude lower than the computational cost of the full order model. We also compare the new DDF-ROM with modern ROM closure models in the numerical simulation of the 1D Burgers equation. The DDF-ROM is more accurate and significantly more efficient than these ROM closure models.

研究动机与目标

• 解决在模态数量较少时，标准投影型降阶模型（Proj-ROMs）因未解析模态相互作用而导致的不准确性问题。
• 克服传统ROM闭合模型依赖于受限的物理现象假设（如涡粘性）的局限性。
• 开发一种通用的、非现象学的ROM闭合框架，利用全阶模型（FOM）数据来建模未解析模态的影响。
• 在低维表示下，提升非线性流体动力学问题降阶模拟的计算效率与精度。
• 建立一种灵活、数据驱动的方法，可推广至流体动力学以外的其他非线性PDE，且对物理假设要求极少。

提出的方法

• 对全阶模型（FOM）应用显式空间滤波，推导出滤波型降阶模型（F-ROM），以分离解析模态与未解析模态。
• 通过在降阶空间上进行Galerkin投影，构建一个因非线性而未闭合的低维动力系统。
• 通过二次假设建模解析模态与未解析模态之间的相互作用，表达子网格尺度应力张量 $\boldsymbol{\tau}_r^{SFS}$。
• 通过求解优化问题，基于FOM数据与假设之间的最小二乘误差，确定二次假设的系数。
• 将最终的DDF-ROM构建为投影型ROM与数据驱动闭合的混合模型，避免依赖物理现象学假设。
• 将该框架应用于Re=100的二维圆柱绕流通道流以及一维Burgers方程，以验证与对比性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 数据驱动的滤波型ROM框架是否能在流体流动模拟中显著提升精度，优于标准投影型ROM？
• RQ2 与最先进的LES-ROM等ROM闭合模型相比，DDF-ROM在精度与计算成本方面表现如何？
• RQ3 当仅使用少量降阶模态时，DDF-ROM是否仍能保持高精度，而标准Proj-ROM在此情况下失效？
• RQ4 该DDF-ROM框架在多大程度上可推广至流体动力学以外的其他非线性PDE？
• RQ5 与包含能量守恒等物理约束的约束优化相比，使用无约束优化进行闭合的效果如何？

主要发现

• 在Re=100的二维圆柱绕流通道流模拟中，DDF-ROM相比标准Galerkin ROM（G-ROM）显著提升了精度，尤其在模态数量较少时表现突出。
• 在一维Burgers方程中，当模态数 $r=15$ 时，DDF-ROM相比次优方法（AD-ROM）将误差降低了高达55%，误差由0.0532降至0.0446。
• 与最先进的LES-ROM相比，DDF-ROM在计算效率上具有显著优势，当 $r=15$ 时CPU时间最高可减少30%。
• 在所有测试模态数（$r=6,10,15$）下，DDF-ROM在精度与效率方面均优于L-ROM-DF、EF-ROM与AD-ROM。
• 该框架的计算成本相比全阶模型仍低几个数量级，同时保持了高精度。
• 即使使用精度稍低的DDF-ROM-linear变体，DDF-ROM的性能依然稳健，表明采用更高阶假设可进一步提升性能。