[论文解读] Decision Algorithms for Fibonacci-Automatic Words, with Applications to Pattern Avoidance
本文提出了一种用于斐波那契自动词的决策算法，通过逻辑谓词与自动机实现对无限斐波那契词中性质的机械验证。该方法重新证明了关于平方、回文与立方的已知结果，并建立了一个新的避免性结果：存在一个非周期性的无限二元词避免模式 $xxx^R$，该结果通过所实现的系统以纯算法方式证明。
We implement a decision procedure for answering questions about a class of infinite words that might be called (for lack of a better name) "Fibonacci-automatic". This class includes, for example, the famous Fibonacci word f = 01001010..., the fixed point of the morphism 0 -> 01 and 1 -> 0. We then recover many results about the Fibonacci word from the literature (and improve some of them), such as assertions about the occurrences in f of squares, cubes, palindromes, and so forth. As an application of our method we prove a new result: there exists an aperiodic infinite binary word avoiding the pattern x x x^R. This is the first avoidability result concerning a nonuniform morphism proven purely mechanically.
研究动机与目标
- 开发斐波那契自动词的逻辑性质的决策程序，将 $k$-自动序列的框架扩展至斐波那契记数系统。
- 通过机械方式验证或重新证明关于斐波那契词的已知结果，例如平方、立方与回文的出现。
- 使用完全自动化的算法方法证明词论中的新结果，特别是避免性结果。
- 实现并验证一个能够处理斐波那契表示上的逻辑查询并生成相应自动机的软件系统。
提出的方法
- 该方法使用逻辑理论 $({\mathbb{N}}, +, <, F)$，其中 $F$ 是斐波那契词的谓词，将性质表达为一阶逻辑谓词。
- 性质被编码为包含量词、比较和对斐波那契词的索引操作的逻辑公式。
- 这些公式被转换为接受斐波那契表示中整数元组的有限自动机。
- 自动机构造依赖于正则语言的封闭性质以及扩展了斐波那契词谓词的Presburger算术的可判定性。
- 实现使用基于Java的系统，包含自动机最小化（通过 dk.brics.automaton）、GraphViz用于可视化，以及Maple用于多项式计算。
- 该系统支持用户以类似逻辑的语言输入查询，在每一步执行确定化与最小化，并通过与已知结果的大量测试确保正确性。
实验结果
研究问题
- RQ1能否使用自动机与逻辑对斐波那契词的逻辑性质进行机械决策？
- RQ2是否存在一个非周期性的无限二元词避免模式 $xxx^R$？
- RQ3斐波那契词前缀的Parikh向量能否以某种方式同步，使得其形态像保持斐波那契自动？
- RQ4该方法能否重新证明或改进关于斐波那契词中平方、立方与回文的已知结果？
- RQ5该框架能否扩展至基-$k$与斐波那契之外的其他记数系统？
主要发现
- 本文成功通过纯机械计算重新证明了关于斐波那契词的已知结果，包括立方的缺失与平方的结构。
- 证明了任意非空同态 $h$ 下斐波那契词的形态像 $h(\mathbf{f})$ 均为斐波那契自动，扩展了闭包性质。
- 建立了新的避免性结果：存在一个非周期性的无限二元词避免模式 $xxx^R$，该结果通过决策程序以纯机械方式证明。
- 实现正确验证了数百个测试用例，包括文献中的已知事实，甚至检测到先前工作中的一些小错误。
- 该系统能为复杂谓词（如给定阶数的阿贝尔立方的存在性）生成自动机，并提供显式的自动机以供验证。
- 该方法具有可推广性：适用于任何加法与排序可由有限自动机计算的记数系统，包括Pisot系统。
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