[论文解读] Decomposing Permutation Automata

Ismaël Jecker, Nicolas Mazzocchi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

semigroups and automata theory被引用 3

一句话总结

本文提出了一种NP算法，用于判断一个置换DFA是否为复合的，并引入了一种以拒绝状态数量为参数的固定参数可tractable（FPT）算法。对于交换置换DFA，该问题被证明属于NL（且在固定字母表大小时属于LOGSPACE），而将分解限制为k因子分解时，问题变为NP完全，揭示了该类中一个尖锐的复杂度阈值。这些结果确立了紧密的复杂度界限，并揭示了尽管计算复杂度较低，仍存在非平凡的结构行为。

ABSTRACT

A deterministic finite automaton (DFA) 𝒜 is composite if its language L(𝒜) can be decomposed into an intersection ⋂_{i = 1}^k L(𝒜_i) of languages of smaller DFAs. Otherwise, 𝒜 is prime. This notion of primality was introduced by Kupferman and Mosheiff in 2013, and while they proved that we can decide whether a DFA is composite, the precise complexity of this problem is still open, with a doubly-exponential gap between the upper and lower bounds. In this work, we focus on permutation DFAs, i.e., those for which the transition monoid is a group. We provide an NP algorithm to decide whether a permutation DFA is composite, and show that the difficulty of this problem comes from the number of non-accepting states of the instance: we give a fixed-parameter tractable algorithm with the number of rejecting states as the parameter. Moreover, we investigate the class of commutative permutation DFAs. Their structural properties allow us to decide compositionality in NL, and even in LOGSPACE if the alphabet size is fixed. Despite this low complexity, we show that complex behaviors still arise in this class: we provide a family of composite DFAs each requiring polynomially many factors with respect to its size. We also consider the variant of the problem that asks whether a DFA is k-factor composite, that is, decomposable into k smaller DFAs, for some given integer k ∈ ℕ. We show that, for commutative permutation DFAs, restricting the number of factors makes the decision computationally harder, and yields a problem with tight bounds: it is NP-complete. Finally, we show that in general, this problem is in PSPACE, and it is in LOGSPACE for DFAs with a singleton alphabet.

研究动机与目标

• 确定判断置换DFA是否为复合的计算复杂度。
• 研究在分解中限制因子数量（k因子复合问题）的影响。
• 探索交换置换DFA的结构特性及其对可组合性的影响。
• 识别DFAs受限子类中的参数化可 tractability 和复杂度阈值。
• 提供紧密的复杂度界限，并揭示低复杂度类中的非平凡行为。

提出的方法

• 通过从命中集问题（HIT）的归约，构造一个置换DFA，使其复合性对应于命中集的存在性。
• 利用置换自动机的群论性质，通过简洁词和转移幺半群作用来刻画状态覆盖。
• 应用Bézout恒等式分析构造的自动机中哪些词覆盖特定的拒绝状态。
• 利用交换性和群结构，证明问题属于NL，且在字母表大小固定时甚至属于LOGSPACE。
• 通过从有界集合大小的HIT问题归约，证明交换置换DFA中k因子分解的NP完全性。
• 利用简洁词覆盖和状态转移动态，刻画拒绝状态何时被词覆盖，从而实现向HIT问题的归约。

实验结果

研究问题

• RQ1 置换DFA的复合性问题是否可在NP时间内判定，其以拒绝状态数量为参数的复杂度如何？
• RQ2 交换置换DFA的k因子复合问题的确切复杂度是什么，与一般情况有何不同？
• RQ3 能否利用交换置换DFA的结构特性，实现NL或LOGSPACE等更低复杂度类？
• RQ4 交换置换类中的复合DFA族是否需要相对于其大小呈多项式数量的因子？这对其分解效率意味着什么？
• RQ5 当限制因子数量时，分解问题的复杂度界限如何变化？复杂度的急剧上升是由什么引起的？

主要发现

• 置换DFA的复合性问题属于NP，且存在以拒绝状态数量为参数的固定参数可 tractable 算法。
• 对于交换置换DFA，复合性问题可在NL时间内判定，且在字母表大小固定时可在LOGSPACE内判定。
• 交换置换DFA的k因子复合问题为NP完全，表明当因子数量受限时存在尖锐的复杂度阈值。
• 存在一类复合的交换置换DFA，其所需因子数量相对于其大小呈多项式关系，表明分解具有非平凡的复杂度。
• 从命中集问题的归约建立了紧密的复杂度界限：当因子数量受限时，交换置换DFA的复合性问题为NP完全。
• 尽管处于低复杂度类（NL、LOGSPACE），交换置换DFA类仍表现出复杂行为，例如分解需要多项式数量的因子。