[论文解读] Decomposing Quantum Generalized Toffoli with an Arbitrary Number of Ancilla

Jonathan M. Baker, Casey Duckering+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用 10

一句话总结

本文提出了一种广义分解方法，用于量子广义Toffoli门（$C^nX$），使用任意数量的干净或脏辅助量子比特，通过动态优化门分组和递归分解，实现更低的电路深度。该方法通过提供从0到$n-2$种辅助量子比特数量的低深度电路，弥合了先前工作的空白，且随着辅助量子比特数量增加，深度持续降低，并进一步扩展至多目标门以实现完整性。

ABSTRACT

We present a general decomposition of the Generalized Toffoli, and for completeness, the multi-target gate using an arbitrary number of clean or dirty ancilla. While prior work has shown how to decompose the Generalized Toffoli using 0, 1, or $O(n)$ many clean ancilla and 0, 1, and $n-2$ dirty ancilla, we provide a generalized algorithm to bridge the gap, i.e. this work gives an algorithm to generate a decomposition for any number of clean or dirty ancilla. While it is hard to guarantee optimality, our decompositions guarantee a decrease in circuit depth as the number of ancilla increases.

研究动机与目标

• 通过提供适用于任意数量干净或脏辅助量子比特的统一方法，填补现有广义Toffoli门量子电路分解中的空白。
• 通过动态分配控制位到辅助量子比特组，优化深度减少，随着辅助量子比特数量增加而实现深度最小化。
• 将分解方法扩展至多目标受控门，以实现完整性。
• 提供一种系统化、参数化的算法，推广先前使用0个、1个或$O(n)$个辅助量子比特的构造。

提出的方法

• 该方法使用动态规划计算$ n $个控制位和$ m $个辅助量子比特的深度上限$ D(n,m) $，通过优化控制位在辅助量子比特上的分组，以最小化深度。
• 对于脏辅助量子比特，该方法利用位翻转技巧，通过重复电路段（上行/下行阶段）并把控制位分组为$ m+1 $组，每组作为子电路。
• 对于干净辅助量子比特，该方法基于He等人提出的对数深度构造以及Gidney的$n-2$个脏辅助量子比特构造，递归地将大控制位分解为更小的控制位，利用辅助量子比特作为中间媒介。
• 该算法确保每个子电路使用所需数量的辅助量子比特，并通过逆计算保持可逆性，以将辅助量子比特恢复到初始状态。
• 它动态地将控制位分配给各组，优先使用Toffoli门，并通过避免大控制组来保持深度效率。
• 该构造分别处理干净和脏辅助量子比特，避免混合使用，并支持多目标门作为自然扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为广义Toffoli门开发一种统一的分解策略，覆盖从0到$n-2$种辅助量子比特数量，且不考虑辅助量子比特类型？
• RQ2 随着可用辅助量子比特数量的增加，如何系统性地减少电路深度，而不假设达到最优？
• RQ3 在辅助量子比特上对控制位采用何种分组策略，可最小化深度，同时保持可逆性和正确性？
• RQ4 如何将分解方法推广至包含多目标受控门？
• RQ5 当辅助量子比特数量从0增加到$n-2$时，分解的深度行为如何？是否随着辅助量子比特增加而持续改善？

主要发现

• 所提出的分解方法保证随着辅助量子比特数量从0增加到$n-2$，电路深度持续降低，且无需假设达到最优。
• 对于$ n $个控制位和$ m $个脏辅助量子比特，当$ m = n - 2 $时，Toffoli深度被限制在$ 4n - 8 $以内，与Gidney的构造一致。
• 该方法推广了先前的构造：它将零辅助量子比特、一个干净辅助量子比特以及$n-2$个脏辅助量子比特的情况作为特例重新获得。
• 动态规划方法使得对于任意$ m $（满足$ 0 \leq m \leq n-2 $）均可构建深度优化的分解，且随着$ m $增加，深度单调递减。
• 该算法确保所有辅助量子比特通过逆计算恢复到初始状态，从而保持正确性。
• 该方法可自然扩展至多目标门，为受控多目标操作提供完整框架。