[论文解读] Decomposition numbers for abelian defect RoCK blocks of double covers of symmetric groups

Matthew Fayers, Alexander Kleshchev+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2023

Finite Group Theory Research参考文献 25被引用 2

一句话总结

本文计算了具有阿贝尔缺陷群的对称群双重覆盖的自旋 RoCK 块的（超）分解数，验证了 Fayers 提出的猜想。通过使用到半直积超代数的 Morita 超等价性以及显式构造投影特征标，作者推导出一个包含 Littlewood–Richardson 系数和逆 Kostka 多项式在内的闭合公式，并通过 Cartan 矩阵比较证明了修正矩阵是平凡的。

ABSTRACT

We calculate the (super)decomposition matrix for a RoCK block of a double cover of the symmetric group with abelian defect, verifying a conjecture of the first author. To do this, we exploit a theorem of the second author and Livesey that a RoCK block $\mathcal B^{ρ,d}$ is Morita superequivalent to a wreath superproduct of a certain quiver (super)algebra with the symmetric group $\mathfrak S_d$. We develop the representation theory of this wreath superproduct to compute its Cartan invariants. We then directly construct projective characters for $\mathcal B^{ρ,d}$ to calculate its decomposition matrix up to a triangular adjustment, and show that this adjustment is trivial by comparing Cartan invariants.

研究动机与目标

• 解决具有阿贝尔缺陷群的对称群双重覆盖的自旋 RoCK 块的分解数问题。
• 验证 Fayers（2023）关于此情形下分解数结构的猜想。
• 利用组合不变量和表示论技术，建立（超）分解数的精确公式。
• 证明关联投影特征标与普通特征标的修正矩阵是平凡的，意味着该公式是典范的。
• 统一来自典范基理论、q-变形 Fock 空间和自旋群模表示论的结果。

提出的方法

• 利用 Kleshchev–Livesey 的 Morita 超等价定理，该定理将 RoCK 块与一个 quiver 超代数和对称群 $S_d$ 的半直积超代数联系起来。
• 发展半直积超代数 $W_d = A_\Im \wr S_d$ 的表示理论，显式构造不可约投影超模，以计算其超 Cartan 矩阵。
• 通过诱导和 Gelfand–Graev 方法构造 RoCK 块 $B_{\rho,d}$ 的投影特征标 $\hat{\phi}_\mu$，并将其与典范基系数联系起来。
• 使用 Brauer 对偶性和修正矩阵 $A$，将分解矩阵与未修正公式联系起来，证明 $A$ 是具有非负元素的上三角矩阵。
• 将猜想公式的预测 Cartan 矩阵条目与 $W_d$ 的实际 Cartan 矩阵（通过 $A_\ell \wr S_d$ 的表示理论计算）进行比较，通过迹相等性证明 $A = I$。
• 应用涉及 Littlewood–Richardson 系数、逆 Kostka 多项式及 bar-core 商的组合恒等式，以简化最终表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有阿贝尔缺陷的对称群双重覆盖的自旋 RoCK 块的（超）分解数的显式公式是什么？
• RQ2 在此情形下，投影特征标与普通特征标之间的修正矩阵行为如何？能否证明其为平凡矩阵？
• RQ3 自旋 RoCK 块的分解数在多大程度上与 q-变形 Fock 空间中典范基系数的预测一致？
• RQ4 RoCK 块与半直积超代数之间的 Morita 超等价性是否可用于计算 Cartan 不变量，从而得到分解数？
• RQ5 在本情境中，$p$-bar-core 和 $p$-bar-quotient 分解在参数化不可约与投影模时起什么作用？

主要发现

• 对于具有 $p$-bar-core $\rho$ 和 $p$-bar-weight $d < p$ 的自旋 RoCK 块，分解数 $[S(\lambda) : D(\mu)]$ 由一个包含 Littlewood–Richardson 系数和逆 Kostka 多项式的闭合公式给出。
• 该公式为 $[S(\lambda) : D(\mu)] = 2^{\lfloor \frac{1}{2}(h(\lambda^{(0)}) + a(\lambda)) \rfloor} \sum_{\sigma,\tau} K^{-1}_{\lambda^{(0)}\sigma^{(0)}}(-1)^\ell \prod_{i=1}^\ell c(\lambda^{(i)}; \sigma^{(i)}, \tau^{(i)}) c(\mu^{(i-1)}; \sigma^{(i-1)}, \tau^{(i)\prime})$，其中 $\lambda^{(i)}, \mu^{(i)}$ 为 $p$-bar-quotients。
• 关联投影特征标 $\phi_\mu$ 与未修正特征标 $\hat{\phi}_\mu$ 的修正矩阵 $A$ 是单位矩阵，确认了该公式是典范的。
• RoCK 块的超 Cartan 矩阵条目与半直积超代数 $W_d$ 的条目一致，后者通过 $A_\ell \wr S_d$ 的表示理论独立计算得出。
• 未修正的 Cartan 矩阵条目 $\check{C}_{\mu\nu}$ 可表示为对分拆 $\phi, \psi, \chi, \omega$ 的求和：$\prod_{i=0}^{\ell-1} c(\mu^{(i)}; \phi(i), \chi(i), \psi(i+1)', \omega(i)) c(\nu^{(i)}; \phi(i), \psi(i), \chi(i+1)', \omega(i))$，在适当标记下与实际 Cartan 矩阵一致。
• 该证明表明，分解矩阵由 $p$-bar-cores 和 $p$-bar-quotients 的组合学唯一确定，从而证实了 Fayers（2023）基于典范基计算提出的猜想。