[论文解读] deepFDEnet: A Novel Neural Network Architecture for Solving Fractional Differential Equations

Ali Nosrati Firoozsalari, Hassan Dana Mazraeh+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2023

Fractional Differential Equations Solutions被引用 5

一句话总结

本文提出 deepFDEnet，一种新颖的深度神经网络架构，通过使用 L1-离散化方法处理分数阶导数，并采用高斯-勒让德积分方法处理积分项，以求解分数阶微分方程（FDEs）。该方法在分数阶常微分方程、偏微分方程及积分微分方程中均实现了高精度，相较于现有的小波方法，在平均绝对误差方面表现更优，测试案例中的误差低至 8.98×10⁻⁵。

ABSTRACT

The primary goal of this research is to propose a novel architecture for a deep neural network that can solve fractional differential equations accurately. A Gaussian integration rule and a $L_1$ discretization technique are used in the proposed design. In each equation, a deep neural network is used to approximate the unknown function. Three forms of fractional differential equations have been examined to highlight the method's versatility: a fractional ordinary differential equation, a fractional order integrodifferential equation, and a fractional order partial differential equation. The results show that the proposed architecture solves different forms of fractional differential equations with excellent precision.

研究动机与目标

• 开发一种稳健的深度神经网络框架，用于求解传统数值方法难以处理的分数阶微分方程（FDEs）。
• 通过将高效的离散化技术整合到神经网络架构中，解决具有奇异核和非局部算子的 FDEs 求解挑战。
• 展示所提方法在各类 FDE 类型（包括分数阶 ODEs、PDEs 及积分微分方程）中的通用性与高精度。
• 提供一种可扩展且与数据兼容的解决方案，适用于涉及不确定或不完整初始与边界条件的高维及大数据场景。

提出的方法

• 该方法采用 L1-离散化方法近似 Caputo 型分数阶导数，实现非整数阶的稳定且精确的数值微分。
• 使用高斯-勒让德求积法对分数阶微分方程中的积分部分进行离散化，尤其适用于 Riemann-Liouville 和 Caputo 定义。
• 训练一个深度神经网络（DNN）以近似未知的解函数，损失函数结合了残差误差、初始条件和边界条件项。
• 总损失函数定义为：Loss = Loss_PDE + Loss_Boundaries + Loss_Initial，将物理约束直接嵌入训练过程。
• 该架构使用 1000 个训练周期进行训练，离散化点数为 100，通过 Adam 优化器进行反向传播优化。
• 该框架在三个基准 FDE 问题上进行了验证：一个分数阶 ODE、一个分数阶 PDE 和一个分数阶积分微分方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 深度神经网络架构是否能通过定制化的离散化技术，以高精度有效求解分数阶微分方程？
• RQ2 L1-离散化与高斯-勒让德求积法的结合，相较于现有方法，在 FDE 解的精度与稳定性方面有何提升？
• RQ3 所提框架在不同类型的 FDE 上（包括 ODEs、PDEs 及积分微分方程）的泛化能力如何？
• RQ4 网络深度、激活函数及离散化点数等超参数如何影响模型的性能与收敛性？

主要发现

• 在 α=0.5 且 t=0.9 的示例 3 中，所提出的 deepFDEnet 方法实现了最低达 8.98×10⁻⁵ 的平均绝对误差，显著优于小波方法。
• 在分数阶 ODE（示例 1）中，该方法在所有测试时间点均保持平均绝对误差低于 1.25×10⁻³，表现出高度稳定性。
• 在分数阶 PDE（示例 2）中，该方法在 t=0.5 时达到 4.45×10⁻³ 的平均绝对误差，展现了在空间与时间维度上的稳定性能。
• 与小波方法相比，该方法在更高时间点及 α 值增大时表现出更优的收敛性与精度。
• 高斯-勒让德积分与 L1-离散化方法的结合，使得即使在高维设置下，也能对奇异与非局部分数阶算子实现精确逼近。
• 该框架在多种 FDE 类型中表现出鲁棒性，证实了其通用性及在控制系统、医学成像与金融建模等实际应用中的潜力。