[论文解读] Definable equivalence relations and zeta functions of groups

Ehud Hrushovski, Benjamin Martin+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用 11

一句话总结

该论文通过为 GLn(Qp)/GLn(Zp) 添加种类，实现了在 p 进数 Qp 中的统一虚像消除，从而实现了对所有素数 p 的、计数可定义等价类的 zeta 函数的统一有理性。利用 p 进积分和动机积分，作者证明了有限生成幂零群的表示 zeta 函数具有统一有理性，扩展了此前关于子群 zeta 函数的结果，并为全局 zeta 函数提供了统一的收敛横坐标。

ABSTRACT

We prove that the theory of the $p$-adics ${\mathbb Q}_p$ admits elimination of imaginaries provided we add a sort for ${ m GL}_n({\mathbb Q}_p)/{ m GL}_n({\mathbb Z}_p)$ for each $n$. We also prove that the elimination of imaginaries is uniform in $p$. Using $p$-adic and motivic integration, we deduce the uniform rationality of certain formal zeta functions arising from definable equivalence relations. This also yields analogous results for definable equivalence relations over local fields of positive characteristic. The appendix contains an alternative proof, using cell decomposition, of the rationality (for fixed $p$) of these formal zeta functions that extends to the subanalytic context. As an application, we prove rationality and uniformity results for zeta functions obtained by counting twist isomorphism classes of irreducible representations of finitely generated nilpotent groups; these are analogous to similar results of Grunewald, Segal and Smith and of du Sautoy and Grunewald for subgroup zeta functions of finitely generated nilpotent groups.

研究动机与目标

• 通过为 GLn(Qp)/GLn(Zp) 添加几何种类，在 Qp 的理论中建立虚像消除。
• 利用超积和不变类型，证明该虚像消除在所有素数 p 上是统一的。
• 将该结果应用于证明在 Qp 和正特征局部域上，计数可定义等价类的正式 zeta 函数具有统一有理性。
• 将有理性和统一性结果扩展到有限生成幂零群的表示 zeta 函数，类似于已知的子群 zeta 函数结果。

提出的方法

• 在代数闭赋值域（ACVF）的模型论中，使用类型的不变扩张来证明虚像消除。
• 改编 p 进积分和动机积分技术，以控制可定义等价关系及其计数函数。
• 应用单元分解和参数化积分，证明 p 进域上 zeta 函数的有理性。
• 构造一个可定义的函数族 fI,y 和 αy，以编码等价类的测度结构。
• 利用 [23] 和 [14] 中的统一可积性和有理性结果，证明 zeta 函数是有理函数，且其系数与 p 无关。
• 利用超积形式化方法实现双重统一性：在 p 上以及在 Qp 的有限扩张 Lp 上。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 Qp 的理论中，对所有素数 p 实现虚像消除的统一？
• RQ2 计数可定义等价类的 zeta 函数是否在所有素数 p 上具有统一有理性？
• RQ3 zeta 函数的统一有理性是否可推广到正特征局部域？
• RQ4 统一有理性结果能否应用于有限生成幂零群的表示 zeta 函数？
• RQ5 由对所有 p 取积形成的全局 zeta 函数的收敛横坐标是什么？

主要发现

• 在为 GLn(Qp)/GLn(Zp) 添加种类后，Qp 的理论实现了虚像消除，且该结果在 p 上是统一的。
• 计数统一可定义族中等价类的 zeta 函数 (Sp(t))p 具有统一有理性，其有理函数的系数与 p 无关。
• 对每个素数 p，zeta 函数 Sp(t) 是有理函数，且该结论在所有素数上统一成立，不仅限于大素数。
• 由局部 zeta 函数的积形成的全局 zeta 函数 ζ(s) = ∏p ζp(s)，具有有理收敛横坐标。
• 有限生成幂零群的表示 zeta 函数具有统一有理性，扩展了此前仅对子群 zeta 函数已知的结果。
• 通过亚解析设定下的单元分解，给出了一个替代证明，确认了有理性和结果向更一般情形的推广。