[论文解读] Deformation inequivalent complex conjugated complex structures and applications

Viatcheslav Kharlamov, Вик. С. Куликов|DergiPark (Istanbul University)|Nov 11, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文在所有维度 ≥2 的情况下构造了紧致复流形的显式例子，这些流形与它们的复共轭不处于形变等价类中，且进一步证明这些流形不存在反转典范类的同胚。通过使用群 (Z/5Z)^2 的复射影平面的伽罗瓦覆叠，并利用零点阶数准则显式计算全纯2-形式，作者证明了最小解消的几何 genus 和不规则性，从而确立了首次已知的在微分同胚或形变下不与自身负形式等价的辛结构的例子。

ABSTRACT

Here, we resume and broaden the results concerned which appeared in math.AG/0101098 and math.AG/0104021. We start from summing up our example of a complex algebraic surface which is not deformation equivalent to its complex conjugate and which, moreover, has no homeomorphisms reversing the canonical class. Then, we construct several series of higher dimensional compact complex manifolds having the same property. We end with discussing applications to the Dif=Def problems, to the existence of diffeomorphic plane cuspidal curves non equivalent under equisingular deformations and to the existence of (deformation) non equivalent symplectic structures with opposite canonical classes.

研究动机与目标

• 解决实代数几何中的开放问题，即每个复流形是否都能形变到一个实结构或具有反自同构的流形。
• 在所有维度 ≥2 的情况下构造紧致复流形，使其不与它们的复共轭形变等价。
• 证明存在复流形，其上不存在反转典范类的同胚，即使在射影情形下亦然。
• 将复曲面的结果推广到高维，并为 Dif=Def 问题提供新的反例。
• 构造首次已知的在微分同胚或形变下不与自身负形式等价的辛结构的例子。

提出的方法

• 使用具有指定重数的12条直线的配置，构造 CP^2 关于群 G = (Z/5Z)^2 的伽罗瓦覆叠。
• 应用一个通用算法，通过全纯2-形式的拉回在零点阶数条件下的性质，计算伽罗瓦覆叠的几何 genus。
• 使用准则 (5)–(7)，确定在分支支集的奇点处，拉回2-形式正则性所需的最小零点阶数。
• 显式计算每个循环商覆叠 X_{G_i} → CP^2 的最小解消上的全纯2-形式空间。
• 通过多项式次数界和零点条件，计算每个 G 的六个子群 H_i 对应的此类形式空间的维数（即几何 genus）。
• 应用诺特公式计算亏格 q = 0，从而确认曲面是正则的。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个维度 ≥2 的紧致复流形是否都能形变到具有实结构或反自同构的流形？
• RQ2 是否存在不与它们的复共轭形变等价的紧致复流形？
• RQ3 是否存在一个复流形，其上不存在反转其典范类的同胚？
• RQ4 是否存在一个流形上的辛结构，其在微分同胚或形变下不与自身负形式等价？
• RQ5 能否通过构造不仅不等价，而且共轭且典范类不保持同胚的反例，来解决 Dif=Def 问题？

主要发现

• 关于群 (Z/5Z)^2 的伽罗瓦覆叠 X_G → CP^2 的最小解消的几何 genus 为 p_g = 36。
• 通过诺特公式计算得最小解消的亏格 q = 0：(c_1^2 + c_2)/12 - 1 - p_g = 0。
• 六个循环商覆叠 X_{G_i} → CP^2 的几何 genus 计算结果为：p_g(G_1)=1, p_g(G_2)=5, p_g(G_3)=5, p_g(G_4)=13, p_g(G_5)=11, p_g(G_6)=1。
• 所构造的例子不与它们的复共轭形变等价，且不存在反转典范类的同胚。
• 该构造首次给出了在微分同胚或形变下不与自身负形式等价的辛结构的例子。
• 这些例子在二维时是刚性的，在高维时为强刚性，不存在非平凡的局部形变。