[论文解读] Deformation quantization and semiclassical expansion in many-body potential scattering problem

M. I. Krivoruchenko, Christopher A. Fuchs+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于形变量化中导出的量子特征的半经典多体势散射方法。通过将量子特征按普朗克常数的幂级数展开，该方法将多体问题简化为求解轨迹及其对初始条件的导数的常微分方程，从而在一致地包含非局域性和相干性等量子效应的同时，实现对时间依赖可观测量的精确计算。

ABSTRACT

In quantum mechanics, systems can be described in phase space in terms of the Wigner function and star-product operation. Quantum characteristics, which appear in the Heisenberg picture as the Weyl's symbols of operators of canonical coordinates and momenta, can be used to solve evolution equations for symbols of other operators acting in the Hilbert space. To any fixed order in the Planck's constant, many-body potential scattering problem simplifies to a statistical-mechanical problem of computing an ensemble of quantum characteristics and their derivatives with respect to initial canonical coordinates and momenta. The reduction to a system of ordinary differential equations pertains rigorously at any fixed order in $\\hbar$. We present semiclassical expansion of quantum characteristics for many-body scattering problem and provide tools for calculation of average values of time-dependent physical observables. The method of quantum characteristics admits the consistent incorporation of specific quantum effects, such as non-locality and coherence in propagation of particles, into semiclassical transport models.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的半经典框架，用于量子力学中的多体势散射。
• 将量子演化方程的复杂性简化为量子特征的常微分方程。
• 利用相空间方法计算时间依赖物理可观测量。
• 在半经典输运模型中一致地包含非局域和相干的量子效应。

提出的方法

• 利用Wigner函数和星积形式化在相空间中描述量子系统。
• 将量子特征定义为位置和动量的海森堡绘景算符的Weyl符号。
• 将量子特征按普朗克常数ħ的幂级数展开，以实现半经典近似。
• 推导量子特征及其对初始条件导数的演化方程。
• 将多体散射问题简化为在相空间中计算轨迹及其雅可比行列式的集合。
• 通过相空间积分计算时间依赖可观测量的平均值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将量子特征按普朗克常数的幂级数展开以应用于多体散射？
• RQ2 量子特征在简化时间依赖可观测量计算中起到什么作用？
• RQ3 如何在半经典输运模型中一致地包含非局域和相干的量子效应？
• RQ4 在ħ的固定阶数下，多体散射问题在多大程度上可简化为常微分方程组？
• RQ5 该方法能否准确描述多体系统中超越经典力学的量子修正？

主要发现

• 多体势散射问题在ħ的任意固定阶数下，被严格简化为求解量子特征的常微分方程组。
• 量子特征及其导数完整地描述了相空间中算符的演化。
• 半经典展开使得时间依赖物理可观测量的平均值能够被精确计算。
• 该方法一致地将非局域性和相干性等量子效应纳入输运模型。
• 该形式化方法允许系统性地引入与ħ → 0极限下经典力学相容的量子修正。
• 该方法为利用相空间轨迹及其雅可比行列式模拟量子多体系统提供了实用框架。