[论文解读] Deformations of gerbes on smooth manifolds

Paul Bressler, Alexander Gorokhovsky+2 more|ArXiv.org|Jan 13, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文建立了光滑流形上叠的正式形变的2-群胚与由光滑函数的Hochschild上链复构造的扭曲微分graded李代数（DGLA）的Deligne 2-群胚之间的精确对应。关键结果将结构层的扭曲形式的形变理论识别为通过叠的上同调类进行DGLA扭曲，从而通过导出代数结构实现了对叠形变的微分几何控制。

ABSTRACT

We identify the 2-groupoid of deformations of a gerbe on a smooth manifold with the Deligne 2-groupoid of a corresponding twist of the DGLA of local Hochschild cochains on infinite jets of smooth functions.

研究动机与目标

• 通过DGLA技术，为$C^{ iny\infty}$流形上叠的正式形变提供微分几何分类。
• 建立代数叠层堆的形变与扭曲DGLA的Deligne 2-群胚之间的2-群胚等价。
• 构造一个由光滑函数的喷层控制的DGLA，并通过叠的上同调类进行扭曲。
• 证明扭曲形式$\mathcal{O}_X$的形变函子等价于特定DGLA扭曲的Deligne 2-群胚。

提出的方法

• 将DGLA $\mathfrak{g}_{\mathtt{DR}}(\mathcal{J}_X)_{[\mathcal{S}]}$ 构造为通过上同调类$[\mathcal{S}] \in H^2(X; \mathcal{O}_X^\times)$对喷层$\mathcal{J}_X$的移位Hochschild复的de Rham复进行扭曲。
• 利用$\mathcal{J}_X$上的典范平坦联络$\nabla^{\text{can}}$诱导Hochschild复上的平坦联络，保持Gerstenhaber括号与微分不变。
• 通过闭2-形式$\omega \in \Gamma(X; (\Omega^2 \otimes \mathcal{J}_X / \mathcal{O}_X)^{\text{cl}})$定义扭曲，DGLA微分通过收缩$\iota_\omega$进行修改。
• 对扭曲DGLA应用Deligne 2-群胚构造$\operatorname{MC}^2(\mathfrak{g})$以建模形变函子。
• 通过下降理论与形变函子的等价性，建立形变2-群胚$\operatorname{Def}_X(\mathcal{S})$与$\operatorname{MC}^2(\mathfrak{g}_{\mathtt{DR}}(\mathcal{J}_X)_{[\mathcal{S}]})$之间的等价。
• 利用扭曲DGLA的同构类仅依赖于$\omega$的上同调类这一事实，确保构造的良定义性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在微分几何设定下，通过DGLA控制光滑流形上叠的形变理论？
• RQ2 哪一个精确的DGLA的Deligne 2-群胚能够分类$\mathcal{O}_X$的扭曲形式的形变？
• RQ3 叠的上同调类如何与控制其形变的DGLA扭曲相关联？
• RQ4 代数叠层堆的形变2-群胚是否与某个适当扭曲的DGLA的Deligne 2-群胚等价？
• RQ5 叠的形变函子能否通过光滑函数的喷层的Hochschild上链复来描述？

主要发现

• 扭曲形式$\mathcal{S}$的形变2-群胚$\operatorname{Def}_X(\mathcal{S})$与Deligne 2-群胚$\operatorname{MC}^2(\mathfrak{g}_{\mathtt{DR}}(\mathcal{J}_X)_{[\mathcal{S}]})$等价。
• DGLA $\mathfrak{g}_{\mathtt{DR}}(\mathcal{J}_X)_{[\mathcal{S}]}$ 构造为喷层$\mathcal{J}_X$的移位Hochschild复的de Rham复的全局截面DGLA的扭曲。
• 扭曲由$\Gamma(X; (\Omega^2 \otimes \mathcal{J}_X / \mathcal{O}_X)^{\text{cl}})$中的闭2-形式定义，且DGLA的同构类仅依赖于该形式的上同调类。
• 该构造为叠的形变理论提供了微分几何实现，将其与Hochschild上同调及导出代数结构联系起来。
• 通过下降理论与形变函子在细化与拉回下的等价性，建立了等价性，证明了全 fidelity 与本质满射性。
• 该结果通过提供几何DGLA控制机制，推广了[5]中的早期结果，将抽象上同调分类替换为具体的形变理论模型。