[论文解读] Deforms of symmetric simple modular Lie (super)algebras

Sofiane Bouarroudj, Pavel Grozman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 58被引用 17

一句话总结

本文对代数闭域上正特征的有限维对称单模李（超）代数的形变进行了分类，重点关注秩小于 9 的情形，并排除 ADE 型超化。研究证明，通过奇余上链的无穷小形变在超代数簇上均可积，从而产生新的代数，并对特征 3 下的 29 维布朗代数、维什费勒-卡斯代数以及特征 2 下无卡坦矩阵的正交代数给出了完整的形变模空间。

ABSTRACT

We say that a~Lie (super)algebra is ``symmetric if with every root (with respect to the maximal torus) it has its opposite of the same multiplicity. Over algebraically closed fields of positive characteristics we describe the deforms (results of deformations) of all known simple finite-dimensional symmetric Lie (super)algebras of rank $<9$, except for superizations of the Lie algebras with ADE root systems. The moduli of deformations of any Lie superalgebra constitute a supervariety. Any infinitesimal deformation given by any odd cocycle is integrable with an odd parameter running over a~supervariety. All deforms corresponding to odd cocycles are new. Among new results are classification of the deforms of the 29-dimensional Brown algebra in characteristic 3, of Weisfeiler-Kac algebras and orthogonal Lie algebras without Cartan matrix in characteristic 2. For the Lie (super)algebras considered, all cocycles are integrable, the deforms corresponding to the weight cocycles are usually linear in the parameter. Problem: describe isomorphic deforms. Appendix: For several modular analogs of complex simple Lie algebras, and simple Lie algebras indigenous to characteristics 3 and 2, we describe the space of cohomology with trivial coefficients. We show that the natural multiplication in this space is very complicated.

研究动机与目标

• 对代数闭域上正特征下秩小于 9 的已知单有限维对称李（超）代数的所有形变进行分类。
• 分析形变的模空间，证明其构成一个超代数簇，尤其针对奇余上链形变。
• 确定所有无穷小形变是否可积，特别是由奇余上链产生的形变。
• 识别并分类由形变理论产生的新李（超）代数，尤其关注特征 2 和 3 的情形。
• 描述模李代数类比复单李代数及特征 2 和 3 下原生代数的平凡系数上同调空间。

提出的方法

• 使用正特征域上李（超）代数的形变理论，聚焦于与根系相关的对称代数。
• 通过平凡系数上同调空间分析，利用余上链对无穷小形变进行分类。
• 应用可积性判别准则，确定无穷小形变是否可延拓为形式形变，尤其关注奇余上链的情形。
• 将形变的模空间构造为一个超代数簇，奇余上链形变情形下由奇参数参数化。
• 利用根系对称性与重数条件，限制所考虑代数的类别。
• 通过显式计算与结构分析，对特定代数（包括特征 3 下的 29 维布朗代数）的形变进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些秩小于 9 的对称单模李（超）代数在正特征下允许非平凡形变？
• RQ2 所有由奇余上链产生的无穷小形变是否均可积？它们是否产生新的李（超）代数？
• RQ3 这些代数的形变模空间结构如何，尤其在奇余上链形变情形下？
• RQ4 模李代数类比复单李代数及特征 2 和 3 下原生代数的平凡系数上同调空间行为如何？
• RQ5 哪些形变彼此同构？同构形变应如何分类？

主要发现

• 所考虑的李（超）代数的所有无穷小形变均可积，由奇余上链产生的形变可生成新代数。
• 任意李超代数的形变模空间为一个超代数簇，奇余上链形变情形下由奇参数参数化。
• 特征 3 下的 29 维布朗代数实现了其形变的完整分类，包括新形变。
• 维什费勒-卡斯代数及特征 2 下无卡坦矩阵的正交李代数在形变理论下均得到完整分类。
• 模李代数类比复单李代数的平凡系数上同调空间表现出高度非平凡且复杂的乘法结构。
• 对应于权余上链的形变通常关于形变参数线性，表明其具有结构化且可预测的行为。