[论文解读] Degenerate Cauchy numbers and polynomials of the second kind

T. Kim|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2017

Advanced Mathematical Identities被引用 7

一句话总结

本文通过一种新颖的生成函数，引入了第二类退化柯西数与多项式，其与以往研究的退化柯西多项式不同。通过生成函数的运算，推导出涉及斯特林数、达黑数与伯努利数的显式恒等式，建立了这些特殊数与多项式在退化情形下的新关系。

ABSTRACT

Recently, degenerate Cauchy numbers and polynomials are introduced in [10]. In this paper, we study the degenerate Cauchy numbers and polynomials which are different from the previous degenerate Cauchy numbers and polynomials. In addition, we give some explicit identities for these numbers and polynomials which are derived from the generating function.

研究动机与目标

• 定义并研究一类新的第二类退化柯西数与多项式，其与先前研究的退化柯西多项式不同。
• 利用其生成函数，推导出这些新退化多项式的显式恒等式。
• 建立新退化柯西多项式与其他特殊数（如第一类与第二类斯特林数、达黑数及高阶伯努利数）之间的联系。
• 探讨当退化参数 λ 趋近于零时，退化多项式的极限行为。

提出的方法

• 通过生成函数定义第二类退化柯西多项式：$\frac{t}{\log\big{(}1+\frac{1}{\lambda}\log(1+\lambda t)\big{)}}\big{(}1+\frac{1}{\lambda}\log(1+\lambda t)\big{)}^{x} = \sum_{n=0}^{\infty}C_{n,\lambda}(x)\frac{t^{n}}{n!}$。
• 应用变换 $t \mapsto \frac{1}{\lambda}(e^{\lambda t} - 1)$，将新多项式与经典柯西多项式关联起来。
• 利用对数与指数级数的生成函数展开，通过比较系数推导恒等式。
• 运用第一类与第二类斯特林数，表达退化多项式与经典特殊数之间的关系。
• 通过生成函数 $\frac{\log(1+t)}{t} = \sum_{n=0}^{\infty}D_n\frac{t^n}{n!}$ 引入达黑数，将其与退化柯西数关联。
• 通过比较相关生成函数展开式中的系数，推导递推关系与结构恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过生成函数系统地定义一类新的第二类退化柯西多项式？
• RQ2 第二类退化柯西多项式与经典柯西多项式、伯努利数及斯特林数之间存在哪些显式恒等式？
• RQ3 第二类退化柯西数如何与达黑数及高阶达黑数相关联？
• RQ4 当退化参数 λ 趋近于零时，退化柯西多项式的极限行为如何？
• RQ5 从这些多项式的生成函数展开中，通过系数比较可得出哪些结构恒等式？

主要发现

• 第二类退化柯西多项式满足恒等式 $\sum_{m=0}^{n}\lambda^{n-m}C_{m,\lambda}(x)S_{2}(n,m) = \sum_{m=0}^{n}\binom{n}{m}C_{n-m}(x)\frac{\lambda^{m}}{m+1}$，将其与经典柯西多项式及第二类斯特林数关联起来。
• 恒等式 $\sum_{m=0}^{n}C_{m}(x)\lambda^{n-m}S_{1}(n,m) = \sum_{m=0}^{n}\frac{(n-m)!}{n-m+1}\binom{n}{m}(-1)^{n-m}\lambda^{n-m}C_{m,\lambda}(x)$ 通过第一类斯特林数将经典柯西多项式与新退化多项式关联起来。
• 第二类退化柯西数满足 $C_{n,\lambda} = \sum_{m=0}^{n}\binom{n}{m}\lambda^{n-m}B_{n-m}^{(n-m)}C_{m,\lambda}^{*}$，将其与高阶伯努利数及先前定义的退化柯西数 $C_{m,\lambda}^{*}$ 关联。
• 恒等式 $C_{n,\lambda}^{*} = \sum_{m=0}^{n}\binom{n}{m}\lambda^{n-m}D_{n-m}C_{m,\lambda}$ 建立了两类退化柯西数与达黑数之间的联系。
• 关系式 $C_{n,\lambda}^{*} = \frac{C_{n+1,\lambda}(1) - C_{n+1,\lambda}}{n+1}$ 提供了第二类退化柯西数的递推刻画，其以多项式在 x=1 处的取值表示。
• 恒等式 $\frac{C_{n+1,\lambda}^{*}(1) - C_{n+1,\lambda}^{*}}{n+1} = \sum_{l=0}^{n}\binom{n}{l}C_{l,\lambda}D_{n-l}^{(2)}$ 将退化柯西多项式在 x=1 处的差值与退化柯西数及高阶达黑数的乘积关联起来。