[论文解读] Degenerate Changhee numbers and polynomials of the second kind

Taekyun Kim, Dae San Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 17被引用 12

一句话总结

本文引入了第二类退化Changhee数与多项式，通过涉及对数函数和退化指数函数的生成函数进行定义。研究建立了这些多项式与Carlitz的退化Euler多项式以及高阶退化Changhee多项式之间新颖的恒等式，方法基于p进费米积分及Stirling数第一类与第二类等特殊数列。

ABSTRACT

In this paper, we consider the degenerate Changhee numbers and polynomials of the second kind which are different from the previously introduced degenerate Changhee numbers and polynomials by Kwon-Kim-Seo (see [11]). We investigate some interesting identities and properties for these numbers and polynomials. In addition, we give some new relations between the degenerate Changhee polynomials of the second kind and the Carlitz's degenerate Euler polynomials.

研究动机与目标

• 定义并研究第二类退化Changhee数与多项式，其与先前研究的退化Changhee多项式相区别。
• 利用p进费米积分，建立关于这些退化多项式的新型恒等式与性质。
• 探讨第二类退化Changhee多项式与Carlitz的退化Euler多项式之间的联系。
• 通过Stirling数与退化数列，推导高阶退化Changhee多项式的显式公式。
• 提出卷积恒等式与生成函数关系，深化对这些多项式组合与算术性质的理解。

提出的方法

• 通过生成函数定义第二类退化Changhee多项式：$ \frac{2}{1 + (1 + \lambda \log(1+t))^{1/\lambda}} (1 + \lambda \log(1+t))^{x/\lambda} = \sum_{n=0}^{\infty} Ch_{n,\lambda}(x) \frac{t^n}{n!} $。
• 利用p进费米积分表示：$ \int_{\mathbb{Z}_p} (1 + \lambda \log(1+t))^{(x+y)/\lambda} d\mu_{-1}(y) $，推导积分恒等式。
• 应用含退化参数的对数与指数生成函数的运算技巧。
• 使用第一类Stirling数 $ S_1(n,k) $ 与第二类Stirling数 $ S_2(n,k) $，及其退化版本 $ S_{2,\lambda}(n,k) $，表达多项式系数。
• 通过生成函数乘积展开推导卷积恒等式，如 $ \sum_{l=0}^n \binom{n}{l} Ch_{l,\lambda}^{(k)} Ch_{n-l,\lambda}^{(r-k)}(x) $。
• 利用二项式系数与带符号的Stirling型和，建立高阶退化Changhee多项式与退化Euler数之间的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地定义第二类退化Changhee多项式，并将其与早期研究的退化Changhee多项式区分开来？
• RQ2 这些多项式的p进费米积分表示会引出哪些恒等式与结构性质？
• RQ3 第二类退化Changhee多项式与Carlitz的退化Euler多项式之间的确切关系是什么？
• RQ4 高阶退化Changhee多项式如何与Stirling数及退化数列相关联？
• RQ5 能否通过生成函数方法与组合恒等式，推导出这些多项式的显式闭式表达？

主要发现

• 第二类退化Changhee多项式通过生成函数定义：$ \sum_{n=0}^{\infty} Ch_{n,\lambda}(x) \frac{t^n}{n!} = \frac{2}{1 + (1 + \lambda \log(1+t))^{1/\lambda}} (1 + \lambda \log(1+t))^{x/\lambda} $。
• 恒等式 $ Ch_{n,\lambda}^{(r)}(x) = \sum_{l=0}^{n} \binom{n}{l} Ch_{l,\lambda}^{(k)} Ch_{n-l,\lambda}^{(r-k)}(x) $ 对所有 $ n \geq 0 $，$ r \in \mathbb{N} $ 成立，揭示卷积结构。
• 推导出显式表达式：$ Ch_{n,\lambda}^{(r)} = \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k} (-1)^m m! \binom{r+m-1}{m} 2^{-m} S_{2,\lambda}(k,m) S_1(n,k) $，将多项式与退化Stirling数联系起来。
• 关系式 $ \sum_{m=0}^{n} Ch_m^{(r)}(x) S_{2,\lambda}(n,m) = \sum_{m=0}^{n} Ch_{m,\lambda}^{(r)}(x) S_2(n,m) $ 联系了经典与退化Stirling数。
• 高阶退化Changhee多项式满足 $ Ch_{n,\lambda}^{(r)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k} \binom{n}{k} (x)_{m,\lambda} S_1(k,m) Ch_{n-k,\lambda}^{(r)} $，揭示多变量结构。
• 证明退化Euler数 $ \mathcal{E}_{n,\lambda}^{(r)} $ 可表示为 $ \sum_{m=0}^{n} (-1)^m m! \binom{r+m-1}{m} 2^{-m} S_{2,\lambda}(n,m) $，提供新的组合公式。