[论文解读] Deligne-Lusztig constructions for unipotent and p-adic groups

Mitya Boyarchenko|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 17

一句话总结

本文为李兹蒂格（Lusztig）关于 $p$-进李群的超临界表示的共轭 Deligne-Lusztig 型构造提出了显式计算方法，聚焦于幂零群与除法代数群。通过分析特定 ind-概形的上同调并利用特征和，作者将不可约的超临界表示计算为从紧开子群诱导的表示，为局部域上 $GL_2$ 与 $SL_2$ 的 2 级表示提供了显式实现。

ABSTRACT

In 1979 Lusztig proposed a conjectural construction of supercuspidal representations of reductive p-adic groups, which is similar to the well known construction of Deligne and Lusztig in the setting of finite reductive groups. We present a general method for explicitly calculating the representations arising from Lusztig's construction and illustrate it with several examples. The techniques we develop also provide background for the author's joint work with Weinstein on a purely local and explicit proof of the local Langlands correspondence.

研究动机与目标

• 为从李兹蒂格关于 $p$-进群的超临界表示的共轭构造中产生的表示提供一种通用的显式计算方法。
• 通过涉及局部非阿基米德域上幂零群与除法代数的具体例子来展示该方法。
• 建立框架，用于计算由上同调群 $H_i(X, \bar{\mathbb{Q}}_\ell)$ 的 $\theta$-同型分量所获得的 $G$-表示。
• 将所得表示与 Deligne-Lusztig 模式以及 $\mathbb{F}_q$ 上有限群表示联系起来。
• 为局部 Langlands 对应关系的局部显式证明奠定基础工具。

提出的方法

• 在 $\overline{\mathbb{F}}_q$ 上定义 ind-概形 $X = (\widetilde{U} \cap F^{-1}(\widetilde{U})) \backslash \{ g \in \widetilde{G} \mid F(g)g^{-1} \in \widetilde{U} \}$，其中 $F$ 为弗罗贝尼乌斯自同态。
• 利用 $G = \mathbb{G}(K)$ 与 $T = \mathbb{T}(K)$ 在 $X$ 上的作用，定义上同调群 $H_i(X, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)$ 中的光滑表示。
• 计算光滑特征 $\theta: T \to \overline{\mathbb{Q}}_\ell^\times$ 的 $\theta$-同型分量 $H_i(X, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\theta]$。
• 应用特征和恒等式与迹公式，确定上同调中诱导表示的重数，特别关注 $H^2_c(X_3, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\chi]$。
• 识别表示 $\rho_{\chi} \cong \operatorname{Ind}_{H_2(\mathbb{F}_{q^2})}^{U^{2,q}_3(\mathbb{F}_{q^2})}(\chi^\sharp)$ 为诱导结构中的关键组成部分。
• 利用弗罗贝尼乌斯互反律与特征迹，验证 $\eta_\theta^\circ \cong \operatorname{Ind}_{\langle \bar{\zeta} \rangle \cdot H_2(\mathbb{F}_{q^2})}^{{\mathcal{R}}_{3,2,q}^\times(\mathbb{F}_{q^2})}(\theta^\sharp)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使李兹蒂格关于 $p$-进群的超临界表示的共轭构造变得显式？
• RQ2 上同调群 $H_i(X, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)$ 的结构如何通过从紧开子群诱导的表示来描述？
• RQ3 所得表示如何与有限域上的 Deligne-Lusztig 模式相关联？
• RQ4 该构造能否在 $\mathbb{T} \otimes_K \widehat{K}^{nr}$ 位于一个 Borel 子群中的假设之外进行推广？
• RQ5 同型分量 $\theta$ 与局部 Langlands 对应关系之间的确切关系为何？

主要发现

• 上同调群 $H^2_c(X_3, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\chi]$ 同构于 $\operatorname{Ind}_{H_2(\mathbb{F}_{q^2})}^{U^{2,q}_3(\mathbb{F}_{q^2})}(\chi^\sharp)$，即 $U^{2,q}_3(\mathbb{F}_{q^2})$ 的一个不可约表示。
• 在 $U^{1}_L / U^{3}_L$ 上的表示 $\rho_{\chi}$ 实现为 $\operatorname{Ind}_{H_2(\mathbb{F}_{q^2})}^{U^{2,q}_3(\mathbb{F}_{q^2})}(\chi^\sharp)$，其中 $\chi^\sharp$ 关于 $\bar{\zeta}$ 的共轭作用不变。
• 特征和 $\sum_{\delta \in \ker(\operatorname{Tr}_{{\mathbb{F}}_{q^2}/{\mathbb{F}}_q})} \psi(\delta) = 0$ 暗示 $\sum_{\delta} \psi(\delta) \cdot \sum_{\beta} N''(\lambda, \delta, \beta) = q^2$。
• 和式 $\sum_{\gamma \in U^1_L / U^3_L} \chi_1(\gamma)^{-1} \chi_2(\gamma)$ 在 $\chi_1 = \chi_2$ 时等于 $q^4$，否则为 0，确认了同型分量的重数为 1。
• $R^2_{{\mathbb{T}}, \theta}$ 非零，且由 $\operatorname{Ind}_{\langle \bar{\zeta} \rangle \cdot H_2(\mathbb{F}_{q^2})}^{{\mathcal{R}}_{3,2,q}^\times(\mathbb{F}_{q^2})}(\theta^\sharp)$ 给出，其中 $\theta^\sharp$ 延拓了 $\chi^\sharp$。
• 在诱导表示中，$\bar{\zeta}$ 的迹为 1，确认了该诱导表示的唯一性与不可约性。