[论文解读] Dense point sets have sparse Delaunay triangulations

Jeff Erickson|ArXiv.org|Oct 15, 2001

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 86被引用 35

一句话总结

该论文证明了在 $ℝ^3$ 中任意 $ n $ 个点的 Delaunay 三角剖分，若其点集展布为 $\Delta$，则其复杂度为 $O(\Delta^3)$，对于密集点集（其中 $\Delta = O(n^{1/3})$）而言为线性复杂度。该结果基于涉及球面帽和阶数-$k$ 展布的几何论证，且可推广至球体的正规三角剖分及均匀表面采样，同时为某些加权三角剖分建立了 $\Omega(n\Delta)$ 的紧致下界。

ABSTRACT

The spread of a finite set of points is the ratio between the longest and shortest pairwise distances. We prove that the Delaunay triangulation of any set of n points in R^3 with spread D has complexity O(D^3). This bound is tight in the worst case for all D = O(sqrt{n}). In particular, the Delaunay triangulation of any dense point set has linear complexity. We also generalize this upper bound to regular triangulations of k-ply systems of balls, unions of several dense point sets, and uniform samples of smooth surfaces. On the other hand, for any n and D=O(n), we construct a regular triangulation of complexity Omega(nD) whose n vertices have spread D.

研究动机与目标

• 为解决 3D Delaunay 三角剖分复杂度中理论与实践之间的差距，即实际中罕见出现最坏情况下的 $\Omega(n^2)$ 复杂度。
• 识别能保证 Delaunay 三角剖分稀疏性的几何约束——特别是展布。
• 通过展布参数将先前针对随机或分布均匀的点集的界推广至密集和结构化点集。
• 在展布的术语下建立三角剖分复杂度的紧致上下界，并将结果扩展至正规三角剖分和表面采样。

提出的方法

• 将展布 $\Delta$ 定义为点集中最大与最小点对距离之比。
• 利用涉及球面帽的几何打包论证来限制 Delaunay 边的数量，表明每个点在最坏情况下仅有 $O(\Delta^3)$ 个邻居。
• 引入阶数-$k$ 展布 $\Delta_k$ 以降低对近距离点对的敏感性，并证明 Delaunay 三角剖分的复杂度为 $O(k^2\Delta_k^3)$。
• 将分析扩展至 $k$-重叠球体系统（$k$-ply systems of disjoint balls）的正规三角剖分，当中心点展布为 $\Delta$ 时，其复杂度为 $O(k^2\Delta^3)$。
• 证明光滑曲面的均匀或随机采样点集的 Delaunay 三角剖分复杂度为 $O(\Delta^3)$。
• 构造一个最坏情况示例，其正规三角剖分的复杂度为 $\Omega(n\Delta)$，使用重叠球体和仿射变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以展布 $\Delta$ 而非点数 $n$ 来界定 3D Delaunay 三角剖分的复杂度？
• RQ2 对于展布 $\Delta = O(n^{1/3})$ 的密集点集，其 Delaunay 三角剖分是否总是线性规模？
• RQ3 能否将上界 $O(\Delta^3)$ 扩展至球体的正规三角剖分及密集点集的并集？
• RQ4 当展布 $\Delta$ 较大时，Delaunay 三角剖分的最坏情况复杂度是多少，与 $n$ 相比如何？
• RQ5 该上界能否推广至更高维度？几何打包在限制单纯形复杂度中的作用是什么？

主要发现

• 在 $ℝ^3$ 中任意 $n$ 个点的点集，若其展布为 $\Delta$，则其 Delaunay 三角剖分的复杂度为 $O(\Delta^3)$，且与 $n$ 无关。
• 该界对所有 $\Delta = O(\sqrt{n})$ 均为紧致，且当 $\Delta = O(n^{1/3})$ 时，意味着密集点集的复杂度为线性。
• 对于中心展布为 $\Delta$ 的 $k$-重叠球体系统，其正规三角剖分的复杂度为 $O(k^2\Delta^3)$。
• 光滑曲面的均匀或随机采样点集的 Delaunay 三角剖分复杂度为 $O(\Delta^3)$。
• 为 $n$ 个点且展布为 $\Delta$ 的正规三角剖分建立了 $\Omega(n\Delta)$ 的最坏情况下界，表明该上界在此情形下为紧致。
• 随机增量算法可在期望时间 $O(\Delta^3 \log n)$ 内构建此类三角剖分。