[论文解读] Density modulo 1 of sublacunary sequences: application of Peres-Schlag's arguments

Nikolay Moshchevitin|ArXiv.org|Sep 21, 2007

Advanced Topology and Set Theory被引用 7

一句话总结

本文将 Peres-Schlag 的概率方法应用于次间隙序列——即增长速度慢于间隙序列的序列——证明：对于满足 $ t_{n+1}/t_n \geq 1 + \gamma/n^\beta $ 且 $ 0 \leq \beta < 1 $ 的序列，使得对所有 $ n $ 都有 $ \|t_n \alpha\| > \kappa / (n^\beta \log(n+1)) $ 的实数 $ \alpha \in [0,1] $ 的集合是不可数的，且其 Hausdorff 维数为 1。该结果扩展了此前在丢番图逼近领域的研究，并通过更精细地应用 Lov{\ae}sz 局部引理框架，改进了定量界限。

ABSTRACT

Let the sequence $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$ of reals satisfy the condition $ \frac{t_{n+1}}{t_n} \ge 1+ \fracγ{n^β},0\le β&lt;1, γ&gt;0. $ Then the set $ \{α\in [0,1]: \exists \varkappa &gt; 0 \forall n \in \mathbb{N} ||t_n α|| &gt; \frac{\varkappa}{n^β\log (n+1)} \} $ is uncountable. Moreover its Hausdorff dimension is equal to 1. Consider the set of naturals of the form $2^n3^m$ and let the sequence $ s_1=1, s_2=2, s_3=3, s_4=4, s_5=6, s_6 = 8,... $ performs this set as an increasing sequence. Then the set $ \{α\in [0,1]: \exists \varkappa &gt; 0 \forall n \in \mathbb{N} ||s_n α|| &gt; \frac{\varkappa}{\sqrt{n}\log (n+1)} \} $ also has Hausdorff dimension equal to 1. The results obtained use an original approach due to Y. Peres and W. Schlag.

研究动机与目标

• 将丢番图逼近的定量结果从间隙序列推广至具有受控增长率的次间隙序列。
• 证明在 $ [0,1] $ 中存在不可数个实数 $ \alpha $，使得 $ \|t_n \alpha\| $ 以特定的幂对数衰减方式远离零。
• 证明此类逼近集合的 Hausdorff 维数恰好为 1，即使序列以次指数速度或如 $ 2^n 3^m $ 的形式增长。
• 将 Peres-Schlag 的概率框架——原用于间隙序列——适应并改进至次间隙情形，以应对更慢的增长速率。

提出的方法

• 通过 dyadic 区间和测度估计，引入嵌套闭集 $ \mathcal{A}_K $ 的递归构造，以控制集合 $ \|t_n \alpha\| > \delta(n) $ 的测度。
• 定义函数 $ H(n, \tau) $ 以量化达到乘法因子 $ \tau $ 所需的最小间隙，用于控制 $ t_n $ 的增长。
• 通过测度论论证，应用 Lov{\ae}sz 局部引理的修改版本，推导出逼近集合的 Lebesgue 测度的正下界。
• 使用满足 $ n_k = n_{k+1} - h(n_{k+1}) $ 的序列 $ \{n_k\} $ 递归构造嵌套集合，并分析涉及 $ t_n $ 和 $ \delta(n) $ 的级数的收敛性。
• 利用 dyadic 区间覆盖 $ A_n $ 及其补集 $ A_n^c $，估计避免 $ \delta(n) $-邻域（模 1 意义下 $ t_n \alpha $ 的邻域）的 $ \alpha $ 的测度。
• 建立涉及 $ t_n $、$ \delta(n) $ 和参数 $ \eta $ 的级数收敛条件，通过定理 3 推导 Hausdorff 维数界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 Peres-Schlag 的方法能否推广至满足 $ t_{n+1}/t_n \geq 1 + \gamma/n^\beta $ 且 $ \beta < 1 $ 的次间隙序列，以获得定量的丢番图逼近结果？
• RQ2 对于此类次间隙序列，满足对所有 $ n $ 都有 $ \|t_n \alpha\| > \kappa / (n^\beta \log(n+1)) $ 的 $ \alpha \in [0,1] $ 的集合的 Hausdorff 维数是多少？
• RQ3 在适当的增长与衰减条件下，避免模 1 意义下 $ \{t_n \alpha\} $ 的 $ \delta(n) $-邻域的 $ \alpha $ 的集合是否具有正测度且具有满 Hausdorff 维数？
• RQ4 该方法能否应用于如 $ s_n = 2^m 3^n $ 的序列（其非间隙但为次间隙），以证明逼近集合的满维数？

主要发现

• 对于任意满足 $ t_{n+1}/t_n \geq 1 + \gamma/n^\beta $ 且 $ 0 \leq \beta < 1 $ 的序列 $ \{t_n\} $，使得对所有 $ n $ 都有 $ \|t_n \alpha\| > \kappa / (n^\beta \log(n+1)) $ 的 $ \alpha \in [0,1] $ 的集合是不可数的。
• 即使序列的增长速度慢于间隙序列，该集合的 Hausdorff 维数恰好为 1。
• 对于枚举 $ \{2^m 3^n\} $ 的序列 $ s_n $，使得对所有 $ n $ 都有 $ \|s_n \alpha\| > \kappa / (\sqrt{n} \log(n+1)) $ 的 $ \alpha $ 的集合的 Hausdorff 维数为 1。
• 该方法依赖于对 Peres-Schlag 框架的精细化应用，结合测度估计与递归区间构造，以确保正测度与满维数。
• 证明了涉及 $ t_n $、$ \delta(n) $ 与参数 $ \eta $ 的特定级数收敛，可在 $ t_n $ 增长条件下推出满 Hausdorff 维数。
• 结果无需假设指数或更快的增长；即使对于次指数序列如 $ \exp(n^\beta) $，也能得到满维数集合。