[论文解读] Dependent dreams: recounting types

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用 22

一句话总结

本文研究了在依赖（NIP）理论中，饱和模型上的完全类型结构，提出了一种分解框架，通过可定义集和不可区分序列分析类型。主要贡献在于证明了当 $\lambda = \lambda^{<\lambda}$ 时，模自同构的完全类型数量被 $\lambda$ 所有，将稳定性谱结果推广至依赖理论。

ABSTRACT

We investigate the class of models of a general dependent theory. We continue math.LO/0702292 in particular investigating so called "decomposition of types"; thesis is that what holds for stable theory and for Th(Q, 2^{|T|} then is indiscernible for some stationary S subseteq kappa. Third, for stable T,a model is kappa-saturated iff it is aleph_epsilon-saturated and every infinite indiscernible set (of elements) of cardinality &lt; kappa can be increased. We prove here an analog. Fourth, for p in S(M), the number of ultrafilters on the outside definable subsets of M extending p has an absolute bound 2^{|T|} . Restricting ourselves to one phi(x, y), the number is finite, with an absolute found (well depending on T and phi).

研究动机与目标

• 将稳定性理论方法（如类型计数与不可区分序列）扩展至依赖（NIP）理论。
• 通过基于可定义集与自同构轨道的分解框架，理解饱和模型上完全类型的结构。
• 为依赖理论建立稳定性理论特征（如饱和性准则）的类比。
• 在弱大基数公理下证明通用对猜想，扩展先前结果。
• 分析模自同构的类型计数谱，证明当 $\lambda = \lambda^{<\lambda}$ 时，依赖理论中该谱被 $\lambda$ 所有。

提出的方法

• 引入类 $\mathsf{pK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$、$\mathsf{tK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$、$\mathsf{vK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$ 与 $\mathsf{rK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$，将类型分解为可定义的、同质的组成部分。
• 利用扩展模型 $M_{[\mathbb{x}]}$ 的 $\kappa$-序列同质性，推导 $\mathsf{tK}$ 与 $\mathsf{vK}$ 中分解的唯一性与稳定性类似性质。
• 应用极化分割定理，模拟依赖理论中不可区分集的作用，替代对完整不可区分性定理的需求。
• 通过递归构造序列 $\bar{b}_{n,0}, \bar{b}_{n,1}$ 与超滤子 $\mathscr{D}_n$，在大基数公理下证明 $\mathsf{tK}$ 与 $\mathsf{vK}$ 的一致性和密度。
• 定义 $\mathsf{ntr}(\mathbb{x})$ 以度量分解中可解性的失败程度，辅助密度证明。
• 利用 $B^{+}_{\mathbb{x}}$-集合与光滑性概念，识别依赖理论中类似稳定的行为，尤其针对 $\mathbb{x} \in \mathsf{pK}$ 且 $\mathbb{x} \in \mathsf{tK}$ 或 $\mathsf{vK}$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在依赖理论中，模自同构的完全类型谱是什么？与稳定理论或 $\mathrm{Th}(\mathbb{Q},<)$ 理论相比有何异同？
• RQ2 是否可通过可定义分解将不可区分序列的概念推广至依赖理论？此类序列满足何种结构性质？
• RQ3 在何种条件下，类 $\mathsf{tK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$ 在 $\mathsf{pK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$ 中为 $\leq_1$-稠密？其与类型计数有何关联？
• RQ4 在不假设强大基数公理的情况下，通用对猜想在依赖理论中能在多大程度上被证明？
• RQ5 可定义集及其方向性（有界/中等/大）如何影响依赖理论中类型的结构？

主要发现

• 对于依赖理论 $T$，若 $\lambda = \lambda^{<\lambda}$ 且 $M$ 是大小为 $\lambda$ 的饱和模型，则模自同构的完全类型数量至多为 $\lambda$，当 $\lambda = \aleph_\alpha$ 时，其上界为 $|\alpha|^{|T|}$。
• 当 $\kappa = \mu_2 = \mu_1 = \mu_0$ 为弱紧致基数时，类 $\mathsf{tK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$ 在 $\mathsf{pK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$ 中为 $\leq_1$-稠密。
• 当 $\kappa = \mu^+$，$\mu$ 为共尾性 $> \theta$ 的奇异强极限，且 $T$ 为可数时，在 ZFC 中，类 $\mathsf{tK}_{\kappa,\kappa,\theta}$ 在 $\mathsf{pK}_{\kappa,\kappa,\theta}$ 中为稠密。
• 每个在饱和模型 $M$ 上的完全类型 $p \in \mathbb{S}(M)$ 都是 $M$ 内长度为 $\|M\|$ 的不可区分序列的平均。
• 当 $\kappa = \kappa^{<\kappa} > |T| + \beth_\omega$ 时，通用对猜想在 $\kappa$ 上被证明，将先前结果推广至更广大的基数类。
• 对于 $\mathbb{x} \in \mathsf{tK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$，结构 $M_{[\mathbb{x}]}$ 为 $\kappa$-序列同质，意味着某些类型实现的唯一性，并实现结构控制。