[论文解读] Derivation of Darcy's law in randomly punctured domains

Arianna Giunti|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2021

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文推导了在三维有界域中随机分布的球形孔洞（孔心与半径均为随机）下，Stokes方程与Poisson方程的Darcy定律。在孔洞半径满足最小可积性条件的前提下，当孔洞尺寸按 $\varepsilon^\alpha$ 缩放且 $\alpha \in (1,3)$ 时，证明了解在均匀化极限下收敛于Darcy定律，即使存在孔洞聚集或重叠，也建立了宏观有效行为。

ABSTRACT

We consider the homogenization of a Poisson problem or a Stokes system in a randomly punctured domain with Dirichlet boundary conditions. We assume that the holes are spherical and have random centres and radii. We impose that the average distance between the balls is of size $\eps$ and their average radius is $\varepsilon^α$, $α\in (1; 3)$. We prove that, as in the periodic case [G. Allaire, ``Homogenization of the Navier-Stokes equations in domains perforated with tiny holes. II''], the solutions converge to the solution of Darcy's law (or its scalar analogue in the case of Poisson). In the same spirit of [A. Giunti, R. Höfer and J. Velázquez, ``Homogenization of the Poisson equation in randomly perforated domains under minimal assumptions on the size of the holes''], we work under minimal conditions on the integrability of the random radii. These ensure that the problem is well-defined but do not rule out the onset of clusters of holes.

研究动机与目标

• 在被随机分布的球形孔洞穿孔的有界域中，建立Stokes方程与Poisson方程的均匀化极限。
• 分析当平均孔洞半径按 $\varepsilon^\alpha$ 缩放且 $\alpha \in (1,3)$ 时的有效宏观行为，对应于调和或Stokes容量密度发散的情形。
• 在对随机半径仅施加最小可积性假设的前提下，证明解收敛于Darcy定律（或其标量类比形式），无需要求孔洞之间的最小距离。
• 处理孔洞可能重叠或聚集的情形，确保当 $\varepsilon$ 足够小时，问题在几乎必然意义下保持适定。
• 将先前在周期性穿孔域中的结果推广至随机穿孔域，采用概率与随机均匀化技术，利用Poisson点过程描述孔心分布。

提出的方法

• 构造穿孔域 $D^\varepsilon = D \setminus H^\varepsilon$，其中 $H^\varepsilon$ 是以Poisson点过程 $\Phi$ 为中心、半径为 $\varepsilon^\alpha \rho_z$ 的球体并集。
• 在 $\partial D^\varepsilon$ 上施加Dirichlet边界条件，以模拟孔洞边界上的无滑移或解消失的物理条件。
• 通过矩条件 $\mathbb{E}[\rho^{3/\alpha}] \leq C$ 与 $\mathbb{E}[\rho^{3/\alpha + \beta}] \leq C$（$\beta > 0$）确保问题适定性，并控制孔洞聚集现象。
• 应用随机均匀化技术，包括Borel-Cantelli论证与链式估计，以控制如密集孔洞簇等罕见事件的概率。
• 通过在外部域 $\mathbb{R}^3 \setminus B_1(0)$ 中求解校正问题，建立缩放后解向Darcy定律的收敛性，有效系数由容量极限导出。
• 使用测度逼近引理（引理5.1）控制与孔洞相关的表面测度在 $H^{-1}$-范数下的行为，从而在弱正则性假设下实现收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机穿孔域中，Poisson或Stokes系统均匀化收敛于Darcy定律的最弱矩条件是什么？
• RQ2 当孔洞非周期性分布且可能发生重叠或聚集时，能否表征其有效行为？
• RQ3 当缩放参数 $\varepsilon^\alpha$ 满足 $\alpha \in (1,3)$ 时，该缩放如何影响收敛速率与有效方程的性质？
• RQ4 在随机设定下，调和容量与Stokes容量在决定宏观行为中起什么作用？
• RQ5 当孔洞随机分布时，校正问题能否在外部域 $\mathbb{R}^3 \setminus B_1(0)$ 中而非周期胞腔中进行表述？

主要发现

• 当 $\alpha \in (1,3)$ 时，$D^\varepsilon$ 中Poisson与Stokes问题的解经 $\varepsilon^{-3+\alpha}$ 缩放后，收敛于Darcy定律或其标量类比形式的解。
• Darcy定律中的有效系数 $k$ 或 $K$ 由外部域 $\mathbb{R}^3 \setminus B_1(0)$ 中的校正问题确定，而非在周期胞腔中。
• 最小矩条件 $\mathbb{E}[\rho^{3/\alpha}] \leq C$ 确保了当 $\varepsilon$ 足够小时，$D^\varepsilon$ 几乎必然非空，即使孔洞发生重叠。
• $\mathbb{E}[\rho^{3/\alpha + \beta}] \leq C$（$\beta > 0$）是Stokes系统成立的充分条件，且允许使用Borel-Cantelli论证控制簇事件。
• 在尺度 $\varepsilon^{1-k\kappa}$ 下出现重叠孔洞链的概率以 $\varepsilon^{\alpha\beta/2}$ 速率衰减，从而通过Borel-Cantelli引理由几乎必然收敛。
• 只要满足半径的矩条件，即使孔洞聚集或重叠，收敛性依然成立，从而将先前在周期性设定下的结果推广至随机情形。