[论文解读] Derivative for the intersection local time of fractional Brownian Motions

Litan Yan|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文建立了两个独立的分数布朗运动（fBm）在指数 $ H_1, H_2 \in (0,1) $ 下交局部时的可微性，证明当 $ \frac{1}{H_1} + \frac{1}{H_2} > 3 $ 时，其空间导数存在。文章引入了一种混合二次互变，并证明了一个布勒勒-尤尔（Bouleau-Yor）型恒等式，将该互变与交局部时的导数联系起来，该恒等式在构造的函数Banach空间中对 $ H_1 < \frac{1}{2} $ 成立，且对 $ H_1 \geq \frac{1}{2} $ 时在 $ \nu > \frac{2H_1 - 1}{H_1} $ 阶H"older连续函数下也成立。该结果将经典伊藤微积分推广至具有长程依赖性的非马氏、自相似过程。

ABSTRACT

Let $B^{H_1}$ and $ ilde{B}^{H_2}$ be two independent fractional Brownian motions on ${\mathbb R}$ with respective indices $H_i\in (0,1)$ and $H_1\leq H_2$. In this paper, we consider their intersection local time $\ell_t(a)$. We show that $\ell_t(a)$ is differentiable in the spatial variable if $\frac1{H_1}+\frac1{H_2}&gt;3$, and we introduce the so-called {\it hybrid quadratic covariation} $[f(B^{H_1}- ilde{B}^{H_2}),B^{H_1}]^{(HC)}$. When $H_1\frac{2H_1-1}{H_1}$.

研究动机与目标

• 研究两个独立的分数布朗运动 $ B^{H_1} $ 和 $ \tilde{B}^{H_2} $（指数满足 $ H_1 \leq H_2 $）的交局部时 $ \ell_t(a) $ 在空间变量上的可微性。
• 定义并研究混合二次互变 $[f(B^{H_1} - \tilde{B}^{H_2}), B^{H_1}]^{(HC)}_t$，作为非半鞅过程的伊藤型互变的推广。
• 建立一个布勒勒-尤尔型恒等式，将混合二次互变与交局部时的导数联系起来，即 $[f(B^{H_1} - \tilde{B}^{H_2}), B^{H_1}]^{(HC)}_t = -\int_{\mathbb{R}} f(a) \ell_t'(a) da $。
• 构造一个可测函数的Banach空间 $ \mathscr{H} $，使得当 $ H_1 < \frac{1}{2} $ 时，混合二次互变在 $ L^2(\Omega) $ 中存在。
• 将恒等式推广至 $ H_1 \geq \frac{1}{2} $ 的情形，证明对 $ \nu > \frac{2H_1 - 1}{H_1} $ 阶H"older连续函数，恒等式成立。

提出的方法

• 本文通过Schauder分布意义下的Dirac函数导数定义交局部时的导数为 $ \ell_t'(a) = -\int_0^t \int_0^s \delta'(B_r^{H_1} - \tilde{B}_s^{H_2} - a) dr ds $。
• 通过极限 $ \lim_{\varepsilon \to 0} J_\varepsilon(H_1, H_2, t, f) $ 定义混合二次互变，其中 $ J_\varepsilon $ 涉及 $ B^{H_1} $ 的增量以及在平移位置处计算的 $ f $ 的差分。
• 当 $ H_1 < \frac{1}{2} $ 时，方法利用Malliavin微积分和对 $ J_\varepsilon $ 分解的 $ L^2 $-估计，构造一个Banach空间 $ \mathscr{H} $，确保其在 $ L^2(\Omega) $ 中收敛。
• 当 $ H_1 \geq \frac{1}{2} $ 时，方法基于傅里叶分析和含 $ e^{-\kappa (\sum \xi_k'')^2 s^{2H_2}} $ 的振荡积分的 $ L^p $-范数估计，辅以精细的变量代换与测度控制。
• 证明过程采用多尺度分析，通过迭代积分对 $ \Lambda_1 $ 和 $ \Lambda_2 $ 进行估计，二者为与fBm自相似性相关的指数衰减项的乘积。
• 应用H"older不等式，选取共轭指数 $ p, q $，并通过代换 $ x_j = \sum_{k=1}^j \xi_k' $ 控制 $ |\xi_j| $ 相对于 $ |x_j| $ 的增长，从而保证可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $ H_1 $ 与 $ H_2 $ 条件下，交局部时 $ \ell_t(a) $ 在空间变量 $ a $ 上可微？
• RQ2 是否可以为 $ f(B^{H_1} - \tilde{B}^{H_2}) $ 与 $ B^{H_1} $ 定义混合二次互变？其在 $ L^2(\Omega) $ 中收敛的条件是什么？
• RQ3 混合二次互变是否满足布勒勒-尤尔型恒等式，将其与 $ f(a) \ell_t'(a) $ 的积分联系起来？
• RQ4 当 $ H_1 < \frac{1}{2} $ 时，哪类函数 $ f $ 能保证混合二次互变在 $ L^2(\Omega) $ 中存在？
• RQ5 当 $ H_1 \geq \frac{1}{2} $ 时，$ f $ 需满足何种正则性条件（如H"older连续性）才能使布勒勒-尤尔恒等式成立？

主要发现

• 交局部时 $ \ell_t'(a) $ 在空间变量 $ a $ 上的导数存在，当且仅当 $ \frac{1}{H_1} + \frac{1}{H_2} > 3 $，这是可微性的主要条件。
• 当 $ H_1 < \frac{1}{2} $ 时，存在一个可测函数的Banach空间 $ \mathscr{H} $，使得对所有 $ f \in \mathscr{H} $，混合二次互变 $[f(B^{H_1} - \tilde{B}^{H_2}), B^{H_1}]^{(HC)}_t $ 在 $ L^2(\Omega) $ 中存在。
• 当 $ H_1 < \frac{1}{2} $ 时，布勒勒-尤尔型恒等式 $[f(B^{H_1} - \tilde{B}^{H_2}), B^{H_1}]^{(HC)}_t = -\int_{\mathbb{R}} f(a) \ell_t'(a) da $ 对所有 $ f \in \mathscr{H} $ 成立。
• 当 $ H_1 \geq \frac{1}{2} $ 时，恒等式对所有 $ \nu > \frac{2H_1 - 1}{H_1} $ 阶H"older连续函数 $ f $ 成立，将结果推广至更广的函数类。
• 证明依赖于含 $ e^{-\kappa (\sum \xi_k'')^2 s^{2H_2}} $ 的振荡积分的 $ L^p $-估计，其衰减速率受 $ (1 + (t'-t)|x|^{1/H})^{-1} $ 控制，确保可积性。
• 最终估计表明 $ \widetilde{\Lambda}(t,t',n,\gamma) \leq C(t'-t)^{n\beta} $，其中 $ \beta = \frac{1}{H_1}(\alpha(H_1 + H_2) - H_2) $，在 $ \frac{H_2}{H_1 + H_2} < \alpha < 1 $ 时成立，证实了所需的H"older连续性。