[论文解读] Derived algebraic geometry, determinants of perfect complexes, and applications to obstruction theories for maps and complexes

Timo Schürg, Bertrand Toën+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 10

一句话总结

本文建立了一套推导代数几何框架，自然地为 Deligne-Mumford 栈的拟光滑推导增强结构赋予函子性完美障碍理论。该框架被应用于 K3 曲面和卡拉比-丘三流形上的映射模和完美复形，构造了到 K3 曲面的稳定映射的约化推导模栈，其截断恢复了 Okounkov-Maulik-Pandharipande-Thomas 的约化障碍理论，提供了无需依赖半正则性映射的全局几何解释。

ABSTRACT

We show how a quasi-smooth derived enhancement of a Deligne-Mumford stack X naturally endows X with a functorial perfect obstruction theory in the sense of Behrend-Fantechi. This result is then applied to moduli of maps and perfect complexes on a smooth complex projective variety. For moduli of maps, we consider X=S an algebraic K3-surface, $g\geq 0$, and $β$ a curve class, and we construct a derived stack whose truncation is the usual stack of pointed stable maps from curves of genus g to S hitting the class $β$, and such that the inclusion of the trunaction induces on a perfect obstruction theory whose tangent and obstruction spaces coincide with the corresponding reduced spaces of Okounkov-Maulik-Pandharipande-Thomas. We give two further applications to moduli of complexes. For a K3-surface S we show that the stack of simple perfect complexes on S is smooth. This result was proved with different methods by Inaba for the corresponding coarse moduli space. Finally, we construct a map from the derived stack of stable embeddings of curves (into a smooth complex projective variety X) to the derived stack of simple perfect complexes on X with vanishing negative Ext's, and show how this map induces a morphism of the corresponding obstruction theories when X is a Calabi-Yau threefold. An important ingredient of our construction is a perfect determinant map from the derived stack of perfect complexes to the derived stack of line bundles whose tangent morphism is, pointwise, Illusie's trace map for perfect complexes. We expect that this determinant map might be useful in other contexts as well.

研究动机与目标

• 通过推导代数几何提供一种几何的、函子性的完美障碍理论构造方法，避免临时选择。
• 严格建立在不依赖半正则性定理的前提下，稳定映射到 K3 曲面的约化障碍理论的存在性。
• 证明 K3 曲面上完美复形的推导栈是光滑的，将 Inaba 的结果推广到栈层面。
• 构造从卡拉比-丘三流形上的稳定映射推导栈到其简单完美复形推导栈的态射，且与障碍理论相容。
• 引入并研究从完美复形推导栈到线丛推导栈的完美行列式映射，其切映射为 Illusie 的迹映射。

提出的方法

• 利用模栈的拟光滑推导增强结构，通过推导代数几何诱导出规范的完美障碍理论。
• 应用推导代数几何中的基变换定理，将推导栈的切复形与 Atiyah 类的上同调联系起来。
• 通过向一个移位向量空间的规范投影，对推导 Picard 栈进行修改，构造到 K3 曲面的稳定映射的约化推导模栈。
• 定义从完美复形推导栈到线丛推导栈的完美行列式态射，其切映射等于 Illusie 的迹映射。
• 利用到 X 的稳定映射的推导栈，定义到 X 上完美复形推导栈的态射，当 X 为三维卡拉比-丘流形时，该态射与障碍理论相容。
• 使用推导基变换同构，将复形的拉回与推导设定中的切空间联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过推导代数几何，独立于半正则性映射，几何地构造出到 K3 曲面的稳定映射模的完美障碍理论？
• RQ2 K3 曲面上的完美复形推导栈是否具有光滑结构，其与粗模空间的关系如何？
• RQ3 到卡拉比-丘三流形的稳定映射推导栈与具有平凡负 Ext 群的简单完美复形推导栈之间有何关系？
• RQ4 从完美复形到线丛的行列式映射在构造障碍理论中起什么作用？
• RQ5 Okounkov-Maulik-Pandharipande-Thomas 的约化障碍理论能否作为推导增强的截断被恢复？

主要发现

• 到 K3 曲面的稳定映射的推导栈，记为 $\mathbb{R}\overline{\mathbf{M}}^{\textrm{red}}_{g}(S;\beta)$，是拟光滑的，其截断恢复了通常的模栈 $\overline{\mathbf{M}}_{g}(S;\beta)$。
• 通过推导增强结构在 $\overline{\mathbf{M}}_{g}(S;\beta)$ 上诱导的障碍理论，与 Okounkov-Maulik-Pandharipande-Thomas 的约化障碍理论完全一致，具有相同的切空间与障碍空间。
• K3 曲面上简单完美复形的栈作为推导栈是光滑的，推广了 Inaba 对粗模空间的结果。
• 从稳定映射的推导栈到卡拉比-丘三流形上完美复形推导栈的态射，诱导出与障碍理论相容的障碍理论态射，且保持约化结构。
• 从完美复形推导栈到线丛推导栈的完美行列式映射，其切映射正是 Illusie 的迹映射，为这一经典构造提供了全局几何解释。
• 该构造产生了一个完全函子性的障碍理论，自然与推导栈之间的态射相容，推广了 Behrend-Fantechi 的虚拟拉回与函子性结果。