[论文解读] Descriptive set theory and forcing; How to prove theorems about Borel sets the hard way

Arnold W. Miller|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 1994

Advanced Topology and Set Theory参考文献 73被引用 20

一句话总结

本文提出了一种利用力迫和描述集合论证明关于博雷尔集定理的新方法，证明了在不可数波兰空间上，博雷尔层次的长度恰好为 ω₁。它表明，任何可数集族都无法以更短的层次生成完整的博雷尔 σ-代数，并提供了卢瓦约夫定理和 Π₀^α 类型的通用集等经典结果的新证明。

ABSTRACT

These are lecture notes from a course I gave at the University of Wisconsin during the Spring semester of 1993. Part 1 is concerned with Borel hierarchies. Section 13 contains an unpublished theorem of Fremlin concerning Borel hierarchies and MA. Section 14 and 15 contain new results concerning the lengths of Borel hierarchies in the Cohen and random real model. Part 2 contains standard results on the theory of Analytic sets. Section 25 contains Harrington's Theorem that it is consistent to have $Π^1_2$ sets of arbitrary cardinality. Part 3 has the usual separation theorems. Part 4 gives some applications of Gandy forcing. We reverse the usual trend and use forcing arguments instead of Baire category. In particular, Louveau's Theorem on $Π^0_α$ hyp-sets has a simpler proof using forcing.

研究动机与目标

• 开发一种使用力迫证明博雷尔集定理的方法，避免使用连续分数等经典技术。
• 证明在任意不可数波兰空间上，博雷尔层次的长度恰好为 ω₁，即使由可数族生成。
• 证明不存在博雷尔集可作为所有 Δ₀^α 集的通用集，解决了作者论文中的一个疑问。
• 以力迫方法重新证明卢瓦约夫关于 Π₀^α 集无通用集存在的定理。
• 通过力迫和博雷尔层次，在抽象设定下推广勒贝格的通用集构造。

提出的方法

• 以力迫和低尼-斯科勒姆定理作为描述集合论中的基础工具。
• 将贝尔空间 ω^ω 和康托尔空间 2^ω 用作不可数波兰空间的通用模型。
• 通过在基本开集的树上进行递归构造，构建 Π₀^α 类的通用集。
• 在可数族 F ⊆ P(X) 上定义抽象博雷尔层次，推广经典博雷尔层次。
• 对对角集 D = {x : (x,x) ∈ A} 使用对角化论证，证明其在博雷尔运算下封闭。
• 证明若 Borel(2^ω) ⊆ Borel(H)，则 ord(H) = ω₁，使用通用集和投影论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用力迫方法证明在不可数波兰空间上，博雷尔层次的长度恰好为 ω₁？
• RQ2 在波兰空间中，是否存在一个博雷尔集可作为所有 Δ₀^α 集的通用集？
• RQ3 能否使用力迫方法重新证明卢瓦约夫关于 Π₀^α 集无通用集存在的定理？
• RQ4 在波兰空间中，由可数集族生成的博雷尔层次的最小长度是多少？
• RQ5 在抽象集族中，博雷尔层次在投影和交运算下的行为如何？

主要发现

• 在任意不可数波兰空间上，博雷尔层次的长度恰好为 ω₁，即使由可数族生成。
• 不存在博雷尔集可作为 Δ₀^α 集的通用集，如卢瓦约夫定理的推论 LABEL:univdel 所示。
• 只要空间包含一个完备集，则在任意可数族 H 上，Π₀^α 类存在通用集。
• 当 A 是乘积空间中的博雷尔集时，对角集 D = {x : (x,x) ∈ A} 是博雷尔集，前提是 Borel(2^ω) ⊆ Borel(H)。
• 本文给出的卢瓦约夫定理的证明与经典证明不同，其依赖于力迫和通用集。
• 本文证明了对于任何生成包含完备集的空间的博雷尔集的可数族 F，均有 ord(F) = ω₁。