[论文解读] Desingularized moduli spaces of sheaves on a K3, I

Kieran G. O’Grady|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 1997

Advanced Algebra and Geometry被引用 25

一句话总结

该论文通过基沃的局部去奇异化程序，随后对 K-负极端射线进行收缩，构建了在 c₁=0 且 c₂ 为偶数的 K3 表面之上，秩为二的无 torsion 范畴层模空间的辛去奇异化。对于 c=4，证明了存在一种新的不可约全纯辛流形；而对于 c≥6，不存在辛去奇异化，表明这些模空间与 Hilbert 模空间不双有理等价。

ABSTRACT

Moduli spaces of semistable torsion-free sheaves on a K3 surface $X$ are often holomorphic symplectic varieties, deformation equivalent to a Hilbert scheme parametrizing zero-dimensional subschemes of $X$. In fact this should hold whenever semistability is equivalent to stability. In this paper we study a typical "opposite" case, i.e. the moduli space $M_c$ of semistable rank-two torsion-free sheaves on $X$ with trivial determinant and second Chern class equal to an even number $c$. The moduli space $M_c$ always contains points corresponding to strictly semistable sheaves. If $c$ is at least 4, then $M_c$ is singular along the locus parametrizing strictly semistable sheaves, and on the smooth locus of $M_c$ there is a symplectic holomorphic form. Thus it is natural to ask whether there is a symplectic desingularization of $M_c$. We construct such a desingularization for $c=4$; in another paper we show that this desingularization gives a new deformation class of (Kähler) holomorphic irreducible symplectic varieties (of dimension ten). We also study the case $c>4$. We describe what should be an interesting desingularization, however we are not able to produce a symplectic one. In fact we suspect there is no symplectic smooth model of $M_c$ if $c>4$ (and even, of course).

研究动机与目标

• 确定当存在严格半稳定层时，K3 表面上半稳定层模空间是否允许辛去奇异化。
• 分析秩为二、c₁=0 且 c₂=c 为偶数的模空间 M_c 的奇异点集。
• 通过基沃的去奇异化和 K-负极端射线的收缩，为 M₄ 构造一个辛解析解。
• 研究当 c≥6 时，M_c 是否存在任何光滑辛模型，及其与 Hilbert 模空间双有理等价的含义。
• 将辛解析解的存在性与物理不变量（如 Vafa-Witten 欧拉示性数）联系起来。

提出的方法

• 对参数化半稳定层的 Quot-概形的 G.I.T. 商应用基沃程序以实现去奇异化。
• 构造一个基沃去奇异化 ŝM_c，其上存在一个在三个例外除子上退化的全纯二形式。
• 在 ŝM_c 的 Mori 锥中识别出一个由类 ŝσ_c、ŝε_c 和 ŝγ_c 生成的 K-负极端射面。
• 以相反顺序进行收缩：首先收缩 R⁺ŝσ_c，然后 R⁺ŝε_c，最后 R⁺ŝγ_c，从而得到一个光滑空间 ŝM_c。
• 通过验证在收缩纤维上为常值，证明从 ŝM_c 到 M_c 的有理映射是正则的。
• 利用 Mori 理论证明最终去奇异化的投影性，并通过诱导的二形式验证其辛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当存在严格半稳定层时，K3 表面上 c₁=0 且 c₂=c 为偶数的秩为二无 torsion 范畴层模空间 M_c 是否允许辛去奇异化？
• RQ2 对于哪些 c≥4 的值，M_c 存在一个光滑辛模型？
• RQ3 M₄ 的辛去奇异化是否与某个 K3 表面上零维子概形的 Hilbert 模空间双有理等价？
• RQ4 Vafa-Witten 欧拉示性数在决定辛解析解存在性方面起什么作用？
• RQ5 基沃去奇异化中 Mori 锥内极端射线的收缩顺序是否能产生一个辛模型？

主要发现

• 对于 c=4，构造了一个 M₄ 的投影辛去奇异化 ŝM₄，其为一种新的不可约全纯辛流形，且与任何 Hilbert 模空间都不在形变等价类中。
• 基沃去奇异化 ŝM₄ 允许一个在单个除子 ŝΩ₄ 上退化的全纯二形式，该除子为 P²-纤维丛，其法丛的次数为 -1。
• 沿 R⁺ŝσ₄ 收缩 P²-纤维丛后，得到一个光滑、投影、全纯辛流形 ŝM₄，其为 M₄ 的正则辛解析解。
• 对于 c≥6，M_c 不存在辛去奇异化；以相反顺序进行的最后一步收缩会导致一个奇异空间。
• 从最终去奇异化 ŝM_c 到 M_c 的有理映射是正则的，因为该映射在收缩纤维上为常值。
• 在 ŝM_c 上诱导的二形式在除子 ŝΣ_c 外非退化，且 (c−4) 倍的 ŝΣ_c 类等于该二形式的 (2c−3) 重楔积。