[论文解读] Determining a fractional Helmholtz system with unknown source and medium parameter

Xinlin Cao, Hongyu Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 18被引用 13

一句话总结

该论文通过外部测量，建立了在分数阶Helmholtz系统中同时反演未知内部源和介质参数的唯一性结果。通过分析低频渐近行为并利用Runge逼近性质，证明了即使源函数依赖于频率且介质未知，仅凭多频Dirichlet-to-Neumann数据，仍可唯一确定源函数与介质参数。

ABSTRACT

We are concerned with an inverse problem associated with the fractional Helmholtz system that arises from the study of viscoacoustics in geophysics and thermoviscous modelling of lossy media. We are particularly interested in the case that both the medium parameter and the internal source of the wave equation are unknown. Moreover, we consider a general class of source functions which can be frequency-dependent. We establish several general uniqueness results in simultaneously recovering both the medium parameter and the internal source by the corresponding exterior measurements. In sharp contrast, these unique determination results are unknown in the local case, which would be of significant importance in thermo- and photo-acoustic tomography.

研究动机与目标

• 解决分数阶Helmholtz系统中同时反演内部源与介质参数的逆问题。
• 在源与介质均未知且源可能依赖频率的条件下，建立同时反演的唯一性结果。
• 证明仅利用低频数据即可独立于介质参数唯一确定源函数。
• 证明仅利用全频带多频数据即可独立于源函数唯一恢复介质参数。
• 将结果推广至实际应用，如在粘弹声学模型中反演声速与源项。

提出的方法

• 利用解在ω = 0处的低频渐近行为，提取关于源与介质参数的信息。
• 应用非局部算子(−∇·(σ∇))ˢ的Runge逼近性质，在L²(Ω)中构造出可逼近的序列。
• 利用紧嵌入定理与强唯一性性质，分析分数阶Sobolev空间中解的行为。
• 推导涉及解与参数差值的积分恒等式，进而推导出参数差值为零。
• 使用在外部区域上定义的Dirichlet-to-Neumann映射Λ^ω_{q,p}，编码多频边界测量。
• 应用假设p(x,ω)关于ω属于C³，以从渐近极限中提取初始数据（p(x,0)与∂p/∂ω(x,0)）。

实验结果

研究问题

• RQ1 当介质参数q未知时，能否仅通过外部测量唯一恢复内部源项p(x,ω)？
• RQ2 当源p未知时，能否仅通过多频外部数据唯一恢复介质参数q？
• RQ3 Dirichlet-to-Neumann映射的低频渐近行为是否能唯一确定源与介质参数？
• RQ4 在不事先知道任一参数的条件下，仅通过外部测量能否实现p与q的同时唯一反演？
• RQ5 结果能否推广至粘弹声学等物理模型，其中源具有频率依赖性？

主要发现

• 若p关于ω属于C³，则源函数p(x,ω)可由Dirichlet-to-Neumann数据在ω ∈ (0, ω₀)范围内唯一确定；具体而言，p(x,0)与∂p/∂ω(x,0)可唯一恢复。
• 若(p₁−p₂)在ω=0处的二阶导数为零，且Dirichlet-to-Neumann数据对所有ψ ∈ C_c^∞(𝒪₁)与ω ∈ (0, ω₀)均一致，则介质参数q可唯一确定。
• 源的反演与q无关：反演源无需依赖对介质的了解。
• 介质参数q的反演与p无关：一旦源已知，或其在ω=0处的二阶导数为零，则q可仅从数据唯一恢复。
• 结果适用于物理模型，如粘弹声学：当p(x,ω) = iωf(x)/c² + g(x)/c²且q = −1/c²时，f、g与c均可唯一恢复。
• 即使p关于ω不属于C³，例如当源为h̃(x,ω) = ρ(x)κ(ω)且κ(0)已知且非零时，仍可通过定理1.1及其证明结构唯一恢复ρ(x)。