[论文解读] Diffeomorphism groups of critical regularity

Sang-Hyun Kim, Thomas Koberda|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 47被引用 4

一句话总结

本文在临界正则度 $\alpha$ 下建立了圆周和区间上微分同胚群中有限生成子群的同构类型连续统的存在性，证明了某些群无法嵌入到更高正则度的微分同胚群中。本文证明了这些子群的交换子群是单群，并运用涉及 Hölder 连续性和分解性质的动力学与分析技术，揭示了非光滑化障碍与非嵌入性结果。

ABSTRACT

Let $M$ be the circle or a compact interval, and let $α=k+τ\ge1$ be a real number such that $k=\lfloor α floor$. We write $\mathrm{Diff}_+^α(M)$ for the group of $C^k$ diffeomorphisms of $M$ whose $k^{th}$ derivatives are Hölder continuous with exponent $τ$. If $α\ge1$, we prove that there exists a finitely generated subgroup $G_α\le\mathrm{Diff}_+^α(M)$ with the property that $G_α$ admits no injective homomorphisms into $\mathrm{Diff}_+^β(M)$ for all $β>α$. If $α>1$, we also show the dual result: there exists a finitely generated group $H_α\le\bigcap_{β

研究动机与目标

• 确定临界正则度 $\alpha$ 下，$M = S^1$ 或 $I$ 时，微分同胚群 $\operatorname{Diff}_+^\alpha(M)$ 中有限生成子群的代数结构。
• 研究此类子群是否可嵌入到更高正则度的微分同胚群 $\bigcup_{\beta > \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(M)$ 中。
• 探索 $\mathscr{G}^\alpha(M) \setminus \mathscr{G}^{\alpha+\varepsilon}(M)$ 中是否存在可数单群及其在低正则度群中不可嵌入的性质。
• 将结果应用于 codimension one 叶状结构的光滑化问题，以及连续微分同胚群之间同态的结构研究。
• 证明 $\operatorname{Diff}_+^1(M)$ 的有限生成子群类在取有限自由积下不封闭。

提出的方法

• 利用概率动力行为与缓慢进展引理，构造 $\operatorname{Diff}_+^{k,\tau}(I)$ 中动态快速的子群。
• 利用分解性质及 $C^\infty$ 微分同胚的作用，证明交换子群的单性。
• 使用凹模 $\mu$ 将 $\bigcap_{\beta < \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(M)$ 表征为 $C^{k,\mu}$ 群的并集。
• 应用 Kopell 引理与 Denjoy 定理，证明 $\operatorname{Diff}_+^\alpha(M)_0$ 的中心平凡且商群为交换群。
• 借助 Mather 定理，证明某些群是完备群，从而其交换子群为单群。
• 通过 $C^1$-稳定性与性质 (T) 的障碍结果，证明当 $\alpha \neq 2$ 时的非嵌入性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $k \geq 1$，是否 $\mathscr{G}^k(M) \setminus \mathscr{G}^{k+1}(M)$ 中包含一个有限生成群？
• RQ2 对于 $\alpha \geq 1$，$\mathscr{G}^\alpha(M) \setminus \mathscr{G}^{\alpha+\varepsilon}(M)$ 中是否存在可数单群？
• RQ3 当 $\alpha \neq 2$ 时，是否存在非平凡同态 $\operatorname{Diff}_+^\alpha(S^1) \to \bigcup_{\beta > \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(S^1)$？
• RQ4 有限生成子群是否可能在 $\operatorname{Diff}_+^1(M)$ 中但无法嵌入到 $\bigcup_{\beta > 1} \operatorname{Diff}_+^\beta(M)$ 中？
• RQ5 交换子群的单性在阻碍群作用于流形的光滑化过程中起什么作用？

主要发现

• 存在连续统个同构类型的有限生成子群 $G \leq \operatorname{Diff}_+^\alpha(M)$，它们无法单射嵌入到 $\bigcup_{\beta > \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(M)$ 中。
• 存在连续统个同构类型的有限生成子群 $G \leq \bigcap_{\beta < \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(M)$，它们无法单射嵌入到 $\operatorname{Diff}_+^\alpha(M)$ 中。
• 所构造子群的交换子群是单群，这在证明非嵌入性与商群单性中起关键作用。
• 对于 $\alpha \geq 1$，$\operatorname{Diff}_+^\alpha(S^1)_0$ 的中心平凡，且每个真商群均为交换群；若 $\alpha \neq 2$，该群为单群。
• 对于 $\alpha > 3$，群 $\bigcap_{\beta < \alpha} \operatorname{Diff}_+^\beta(S^1)_0$ 为单群，其真商群均为交换群。
• $\operatorname{Diff}_+^1(M)$ 的有限生成子群类在取有限自由积下不封闭，通过构造反例得以证明。