[论文解读] Diffeomorphisms with Liao-Pesin set

Wenxiang Sun, Xueting Tian|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文通过引入一种新的佩辛块过滤——称为廖-佩辛块——建立了非一致双曲系统在 $C^1$ 情形下的廖-佩辛理论。这些块通过拓扑定义，与测度无关。它们支持稳定流形定理与指数跟踪性质，使得佩辛理论的关键结果（如马蹄结构、熵公式、利夫希茨定理）可推广至满足准极限支配条件的 $C^1$ 微分同胚，即使在具有非一致中心双曲性的部分双曲系统中亦成立。

ABSTRACT

In this paper we mainly deal with an invariant (ergodic) hyperbolic measure $μ$ for a diffeomorphism $f,$ assuming that $f$ is just $C^1$ and for $μ$ a.e. $x$, the sum of Oseledec spaces corresponding to negative Lyapunov exponents (quasi-limit-)dominates the sum of Oseledec spaces corresponding to positive Lyapunov exponents at $x$. We generalize a certain of results of Pesin theory from $C^{1+α}$ to the $C^1$ system $ (f,μ)$, including a sufficient condition for existence of horseshoe, Livshitz theorem, exponential growth of periodic points, distribution of periodic points, periodic measures, horseshoes, nonuniform specification and lower semi-continuity of entropy function etc. In particular, they are applied for $C^1$ partially hyperbolic systems whose central bundle displays some non-uniform hyperbolicity, including some robust systems. Moreover, for some $C^1$ partially hyperbolic (not necessarily volume-preserving) systems, we get some information of Lebesgue measure on Average-nonuniform hyperbolicityand volume-non-expanding. A constructed machinery is developed for $C^1$ (not necessarily $C^{1+α}$) diffeomorphisms: new Pesin blocks is established topologically (independent on measures) such that every block has stable manifold theorem and simultaneously has exponential shadowing. The new construction, different with classical $C^{1+α}$ ones, is mainly inspired from Liao's quasi-hyperbolicity and so here we call new blocks by Liao-Pesin blocks and call the new established $C^1$ Pesin theory by $C^1$ Liao-Pesin Theory. Liao-Pesin set not only exists for invariant measures, but also exists for general probability measures, for example, Lebesgue measure (not assuming invariant) in some partially hyperbolic systems.

研究动机与目标

• 将经典佩辛理论从 $C^{1+\alpha}$ 推广至满足准极限支配条件的 $C^1$ 微分同胚。
• 构造一种新的、与测度无关的佩辛块过滤——廖-佩辛块——其支持稳定流形与指数跟踪性质。
• 将非一致双曲性的核心结果（如马蹄结构、熵、利夫希茨定理）推广至具有部分双曲性与非一致中心行为的 $C^1$ 系统。
• 通过平均非一致双曲性的概念，为 $C^1$ 部分双曲系统中的勒贝格测度提供新的洞察。

提出的方法

• 基于廖的准双曲性，通过一种与不变测度无关的拓扑过滤引入廖-佩辛块。
• 利用极限支配分解与准双曲性定义一种新的佩辛集（廖-佩辛集），确保在块上具有统一双曲性。
• 在每个廖-佩辛块上建立稳定流形定理与指数跟踪引理，适用于 $C^1$ 微分同胚。
• 采用具有可控畸变的分块线性化方案：$\Phi_k = L_k + \phi_k$，其中 $L_k$ 具有分块结构，且 $\|\phi_k\|$ 与 $Lip(\phi_k)$ 一致有界。
• 在向量场的巴拿赫空间中应用不动点论证，证明 $d$-伪轨道存在一致跟踪轨道。
• 证明在某些部分双曲系统中，廖-佩辛集对勒贝格测度具有全测度，即使该测度非不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将佩辛理论的关键结果（如马蹄结构存在性与熵公式）推广至不具有 $C^{1+\alpha}$ 正则性的 $C^1$ 微分同胚？
• RQ2 是否存在一种与不变测度无关但依然支持稳定流形与指数跟踪性质的佩辛块的拓扑构造？
• RQ3 廖-佩辛集能否用于刻画一般概率测度（包括非不变情形下的勒贝格测度）下的非一致双曲性？
• RQ4 在 $C^1$ 部分双曲系统中，何种条件可确保廖-佩辛集对勒贝格测度具有全测度？
• RQ5 该新理论如何应用于具有非一致中心动力学的稳定遍历性或体积非扩张的 $C^1$ 系统？

主要发现

• 在准极限支配条件下，对任意遍历双曲测度 $\mu$，廖-佩辛集存在，即使在 $C^1$ 系统中亦然。
• 廖-佩辛块支持统一的稳定流形定理与指数跟踪引理，可实现周期轨道与马蹄结构的构造。
• 该理论将利夫希茨定理、熵公式与非一致指定性推广至具有部分双曲性与非一致中心双曲性的 $C^1$ 系统。
• 在某些 $C^1$ 部分双曲系统中，廖-佩辛集具有全勒贝格测度，意味着平均非一致双曲性与体积非扩张行为。
• 新过滤确保廖-佩辛块上稳定流形的大小具有统一的下界，这是熵下半连续性与周期测度逼近的关键步骤。
• 跟踪引理给出 $Hd$-跟踪，其中 $H = 2R$，$R$ 依赖于准双曲性参数，确保周期轨道逼近的鲁棒性。