[论文解读] Differentiability of non-archimedean volumes and non-archimedean Monge-Ampère equations (with an appendix by Robert Lazarsfeld)

José Ignacio Burgos Gil, Walter Gubler+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用 19

一句话总结

本文证明了在完备离散赋值域上的射影代数簇上，线丛的连续拟正度量下非阿基米德体积的可微性，证明其导数由非阿基米德Monge–Ampère测度给出。这证实了Kontsevich与Tschinkel的猜想，并在特征零的非阿基米德Monge–Ampère方程解的存在性定理中去除了代数性假设$(\dagger)$。

ABSTRACT

Let $X$ be a normal projective variety over a complete discretely valued field and $L$ a line bundle on $X$. We denote by $X^ extrm{an}$ the analytification of $X$ in the sense of Berkovich and equip the analytification $L^ extrm{an}$ of $L$ with a continuous metric $\| \ \|$. We study non-archimedean volumes, a tool which allows us to control the asymptotic growth of small sections of big powers of $L$. We prove that the non-archimedean volume is differentiable at a continuous semipositive metric and that the derivative is given by integration with respect to a Monge-Ampère measure. Such a differentiability formula had been proposed by M. Kontsevich and Y. Tschinkel. In residue characteristic zero, it implies an orthogonality property for non-archimedean plurisubharmonic functions which allows us to drop an algebraicity assumption in a theorem of S. Boucksom, C. Favre and M. Jonsson about the solution to the non-archimedean Monge-Ampère equation. The appendix by R. Lazarsfeld establishes the holomorphic Morse inequalities in arbitrary characteristic.

研究动机与目标

• 建立非阿基米德体积在连续拟正度量下的可微性。
• 证明体积泛函的导数由非阿基米德Monge–Ampère测度的积分给出。
• 在非阿基米德Monge–Ampère方程解的存在性定理中去除代数性假设$(\dagger)$。
• 通过Robert Lazarsfeld的附录，将全纯Morse不等式推广至任意特征。
• 提供局部体积工具以替代非阿基米德几何中的全局方法，从而去除强代数性假设。

提出的方法

• 使用完备离散赋值域上射影簇$X$的解析化，配备线丛$L^{{\mathrm{an}}}$上的连续拟正度量。
• 应用非阿基米德体积理论，控制$L^{{\otimes}m}$的小截面的渐近增长。
• 在连续拟正度量处建立体积泛函的可微性公式，证明其导数为Monge–Ampère测度$c_{1}(L,\|\|)^{\wedge n}$。
• 使用渐近上同调函数$\widehat{h}^{i}(Y,L)$，并将经典体积与Morse不等式结果推广至任意域。
• 通过基变换与Bertini型论证，将问题约化至非常 ample 除子的情形，并利用Koszul型复形构造余挠解析。
• 依赖R. Lazarsfeld的附录，该附录给出了任意特征下全纯Morse不等式的纯代数证明，这对体积估计的推广至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 非阿基米德体积泛函在连续拟正度量处是否具有可微结构？
• RQ2 在非阿基米德情形下，体积泛函的导数能否表示为Monge–Ampère测度？
• RQ3 在特征零下，全纯凸函数的正交性性质是否允许在非阿基米德Monge–Ampère问题中去除代数性条件$(\dagger)$？
• RQ4 在任意特征下，渐近上同调函数$\widehat{h}^{i}$是否由交点理论量控制？
• RQ5 能否在正特征下不依赖解析方法，仅用代数方法证明全息Morse不等式？

主要发现

• 在任意连续拟正度量处，非阿基米德体积是可微的，其导数等于Monge–Ampère测度$c_{1}(L,\|\|)^{\wedge n}$，证实了Kontsevich与Tschinkel的猜想。
• 在剩余特征为零的情形下，可微性蕴含非阿基米德全纯凸函数的正交性性质，从而可在非阿基米德Monge–Ampère方程存在性定理中去除代数性假设$(\dagger)$。
• R. Lazarsfeld的附录提供了任意特征下渐近全息Morse不等式的纯代数证明，推广了早期的解析与特征零结果。
• 体积泛函满足渐近公式$\operatorname{vol}(L\otimes M^{-1}) \geq L^n - nL^{n-1}\cdot M$，对 nef 线丛成立，将经典结果推广至非代数闭域。
• 对任意域上的射影概形，渐近上同调函数$\widehat{h}^{q}(Y,F)$ 满足$\widehat{h}^{q}(Y,F) \leq \binom{n}{q} D^{n-q} \cdot E^q$，其中$D,E$为 nef 除子，且在体积情形（$q=0$）取等。
• 证明策略以局部体积估计替代模型上的全局方法，从而在无需$X$定义在曲线函数域上的条件下求解了非阿基米德Monge–Ampère方程。