[论文解读] Differential forms and the Wodzicki residue

William J. Ugalde|ArXiv.org|Nov 22, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文在无边界的偶数维紧致共形流形上引入了一种微分形式 $\Omega_{n,S}$，其构造基于零阶伪微分算子 $S$ 的换位子的 Wodzicki 距离。证明了 $\Omega_{n,S}$ 在其变量上对称，并在平坦情形下通过弗雷德霍姆模算子 $F$ 的全符号给出了显式公式，其应用涵盖共形不变算子（如 GJMS 算子）。

ABSTRACT

For a pseudodifferential operator $S$ of order 0 acting on sections of a vector bundle $B$ on a compact manifold $M$ without boundary, we associate a differential form of order dimension of $M$ acting on $C^\infty(M) imes C^\infty(M)$. This differential form $Ω_{n,S}$ is given in terms of the Wodzicki 1-density $\wres([S,f][S,h])$. In the particular case of an even dimensional, compact, conformal manifold without boundary, we study this differential form for the case $(B,S)=(\cH,F)$, that is, the Fredholm module associated by A. Connes to the manifold $M.$ We give its explicit expression in the flat case and then we address the general case.

研究动机与目标

• 通过零阶伪微分算子 $S$ 的 $[S,f][S,h]$ 的 Wodzicki 距离，在紧致、偶数维、共形流形上定义微分形式 $\Omega_{n,S}$。
• 证明当 $S$ 为与流形关联的弗雷德霍姆模算子 $F$ 时，$\Omega_{n,S}$ 在 $f$ 与 $h$ 上对称。
• 计算 $F$ 的首项符号，并在平坦情形下利用 $\langle\xi,\eta\rangle^2|\xi|^{-2}|\eta|^{-2}$ 的泰勒展开，显式表达 $\Omega_n$。
• 将 $\Omega_n(f,h)$ 的表达式推广至曲面情形，表示为 $Q_n(df,dh) + Q_{R,n}(df,dh)$，在平坦与曲面情形均成立，并为高维情形中先前计算提供严格基础。
• 建立 $F$ 的符号对度量偏导数的依赖关系，支持结果向非平坦共形流形的推广。

提出的方法

• 通过 Wodzicki 距离恒等式定义微分形式 $\Omega_{n,S}$：$\operatorname{Wres}(f_0[S,f][S,h]) = \int_M f_0 \Omega_{n,S}(f,h)$，将距禿与流形上的积分联系起来。
• 该构造依赖于伪微分算子乘积的全符号公式，特别是将 $\sigma(F)$ 展开为 $\mathcal{L}_k$ 型符号的形式。
• 在平坦情形下，$\Omega_n$ 由首项符号 $\sigma_L^F(\xi)\sigma_L^F(\eta)$ 的迹导出，利用 $\langle\xi,\eta\rangle^2|\xi|^{-2}|\eta|^{-2}$ 在对角线附近的泰勒展开。
• 在一般情形下，$\Omega_n(f,h)$ 表示为 $Q_n(df,dh) + Q_{R,n}(df,dh)$，其中 $Q_n$ 与平坦情形一致，$Q_{R,n}$ 表征曲率修正项。
• $F$ 的首项符号计算为 $\sigma_L^F \sim \mathcal{L}_0 + \mathcal{L}_1 + \mathcal{L}_2 + (\mathcal{L}_1)^2 + \cdots$，高阶项由满足 $\sum k\alpha_k = k$ 的 $\mathcal{L}_k$-积构成。
• 附录严格分析了 $F$ 的符号对度量偏导数的依赖关系，这对将结果推广至平坦情形之外至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 Wodzicki 距离，为紧致流形上零阶伪微分算子 $S$ 的微分形式 $\Omega_{n,S}$ 提供一个自然的关联？
• RQ2 当 $S$ 为偶数维共形流形上的弗雷德霍姆模算子 $F$ 时，微分形式 $\Omega_{n,S}$ 是否在 $f$ 与 $h$ 上对称？
• RQ3 在平坦情形下，$\Omega_n$ 的显式表达式是什么？它与 $\langle\xi,\eta\rangle^2|\xi|^{-2}|\eta|^{-2}$ 的泰勒展开有何关系？
• RQ4 如何将 $\Omega_n(f,h)$ 推广至曲面流形？曲率修正项在 $Q_{R,n}(df,dh)$ 形式中起什么作用？
• RQ5 弗雷德霍姆模算子 $F$ 的符号如何依赖于度量的偏导数？其在 $\mathcal{L}_k$ 型分量中的结构如何？

主要发现

• 微分形式 $\Omega_{n,S}$ 由 Wodzicki 距离恒等式 $\operatorname{Wres}(f_0[S,f][S,h]) = \int_M f_0 \Omega_{n,S}(f,h)$ 唯一确定，并在 $C^\infty(M)$ 上定义了一个 Hochschild 2-上循环。
• 对于弗雷德霍姆模 $(\mathcal{H}, F)$，形式 $\Omega_n = \Omega_{n,S}$ 在所有偶数维中关于 $f$ 与 $h$ 对称。
• 在平坦情形下，$\Omega_n$ 显式由 $\langle\xi,\eta\rangle^2|\xi|^{-2}|\eta|^{-2}$ 在对角线附近的泰勒展开导出的多项式积分给出，其首项涉及 $\operatorname{trace}(\sigma_L^F(\xi)\sigma_L^F(\eta))$。
• 在一般情形下，$\Omega_n(f,h)$ 分解为 $Q_n(df,dh) + Q_{R,n}(df,dh)$，其中 $Q_n$ 与平坦情形一致，$Q_{R,n}$ 编码曲率修正。
• $F$ 的全符号至阶 $-k$ 的形式为 $\sigma^F = \sigma_0^F + \sigma_{-1}^F + \cdots + \sigma_{-k}^F + \cdots$，其中 $\sigma_{-k}^F \sim \sum (\mathcal{L}_k)^{\alpha_k} \cdots (\mathcal{L}_1)^{\alpha_1}$，且满足 $\sum k\alpha_k = k$。
• 符号 $F$ 依赖于度量的偏导数，其依赖关系在附录中系统分析，使结果可推广至平坦情形之外。